Randomisierte Algorithmen

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Sommersemester 2008
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Randomisierte Algorithmen
2. Übung
Aufgabe 1 Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit Knotenmenge V = {1, . . . , n},
der keine isolierten Knoten besitzt. Für einen Knoten i sei di der Grad von i, d. h. die
Anzahl der Knoten, die mit i über eine Kante verbunden sind. Wir würfeln nun eine
Teilmenge V 0 ⊆ V aus, indem wir für jeden Knoten i unabhängig von den anderen
mit Wahrscheinlichkeit pi entscheiden, Knoten i in V 0 aufzunehmen. Dabei wählen
wir pi := 1/di .
Bestimmen Sie eine möglichst gute untere Schranke für E[A − B], wobei A = |V 0 |
ist und B die Anzahl der Kanten innerhalb von V 0 .
Aufgabe 2 Beim Problem 3-SAT ist eine Menge X = {x1 , . . . , xn } von Variablen
gegeben, die die Werte wahr“ oder falsch“ annehmen können. Dazu haben wir eine
”
”
Menge C = {C1 , . . . , Cm } von Klauseln der Länge 3, das sind Disjunktionen von 3
Literalen (Variablen oder negierte Variablen). Eine Eingabe könnte zum Beispiel
folgendermaßen aussehen:
X = {x1 , x2 , x3 , x4 } und C = {C1 = x1 ∨ x2 ∨ x4 , C2 = x2 ∨ x3 ∨ x4 }.
Je nachdem, wie man die Variablen belegt, sind einige Klauseln Ci erfüllt, andere nicht. Beispielsweise wird für (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (f, w, w, f ) die Klausel C1 nicht
erfüllt, während C2 erfüllt wird.
Zeigen Sie: Für jede Eingabe von 3-SAT gibt es eine Belegung der Variablen, die
mindestens 7/8 aller Klauseln erfüllt.
Aufgabe 3 In der Vorlesung wurde eine Ungleichung angegeben, die für einen Graphen G = (V, E) eine obere Schranke für die Größe |I| einer größten unabhängigen
Menge I in G liefert. Sie lautet
|V | − |I|
|E| ≤ |I| · (|V | − |I|) +
.
2
1. Bestimmen Sie eine möglichst gute obere Schranke für |I| in Abhängigkeit von
|V | und |E|.
2. Wie groß muss die Kantenanzahl |E| eines Graphen mit Knotenanzahl |V | mindestens sein, damit wir aus Teil 1. folgern können, dass die größte unabhängige
Menge maximal die Größe |V |/2 hat?
Aufgabe 4 Wir betrachten wie in der Vorlesung binäre MIN-MAX-Bäume, d. h. von
der Wurzel an abwärts wird auf den Ebenen des Baumes abwechselnd das Minimum
bzw. Maximum der Werte der unter einem Knoten liegenden Teilbäume gebildet. Es
sei sein solcher Baum der Tiefe 4 gegeben, d. h. er hat 16 Blätter. Bestimmen Sie,
für wieviele der 216 möglichen Belegungen der Blätter mit 0 oder 1 die Wurzel den
Wert 1 erhält. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
1. Wir betrachten zunächst einen MIN-MAX-Baum der Tiefe 2, d. h. mit einer
MIN- und einer MAX-Ebene und 4 Blättern. Wir würfeln nun eine Belegung
der Blätter aus, indem wir für jedes Blatt unabhängig von den anderen mit
Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) den Wert 1 und sonst den Wert 0 wählen. Bestimmen Sie einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit W (p), dass die Wurzel
des Baumes den Wert 1 annimmt.
2. Wir betrachten nun unseren MIN-MAX-Baum der Tiefe 4, und würfeln die
Belegung der Blätter wie eben aus. Bestimmen Sie mit Hilfe von W (p) aus
Teilaufgabe 1 einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit W 0 (p), dass die Wurzel den Wert 1 annimmt.
3. Bestimmen Sie die Anzahl der 0/1-Belegungen, die an der Wurzel den Wert
1 liefern, indem Sie das Experiment betrachten, die Blätter unseres Baumes
jeweils mit Wahrscheinlichkeit p = 1/2 mit den Werten 0 oder 1 zu belegen.