Informatik B

1. Aufgabenblatt vom Montag, den 20. April 2009 zur Vorlesung
Informatik B
(Frank Hoffmann)
Abgabe: keine:Wird im 1. Tutorium besprochen
1. Würfelgraphen
Wir betrachten den n–dimensionalen Würfelgraphen Qn , n > 1, dessen Knotenmenge
aus allen 0–1–Strings der Länge n besteht. Zwei Knoten sind durch eine Kante verbunden, wenn die dazugehörigen Strings sich an genau einer Stelle unterscheiden, also
Hamming–Abstand 1 voneinander haben.
(a) Zeichnen Sie den Q2 , Q3 , Q4 und beschreiben Sie, wie man aus einer Zeichnung des
Qn eine des Qn+1 bekommt.
(b) Stellen Sie eine Formel für die Anzahl |En | der Kanten des Qn auf und beweisen
Sie diese, bestimmen Sie auch den Durchmesser Dn des Qn als Funktion seiner
Knotenzahl.
(c) Beweisen Sie, dass die Würfelgraphen für n > 1 Hamiltonsche Kreise besitzen, also
einen Kantenzug,der bei einem Knoten startet, alle Knoten genau einmal besucht
und zum Ausgangsknoten zurückkehrt.
(d) Betrachten Sie den 3–dimensionalen Würfelgraphen Q3 . Er hat 8 Knoten und 12
Kanten. Kann man die Kanten so mit den Zahlen 1, . . . , 12 beschriften, dass jede
Zahl genau einmal vorkommt und für alle Knoten die Summe der Zahlen an den 3
inzidenten Kanten gleich ist? Tipp: Denken Sie an das Handschlag–Lemma.
(e) Listen Sie alle paarweisen nichtisomorphen, durch höchstens vier Knoten induzierten Untergraphen des Q3 auf.
(f) Für welche n > 1 ist der Komplementärgraph des Qn bipartit?
2. Längste Wege
Führen Sie einen Widerspruchsbeweis, um folgende Aussage zu zeigen:
Wenn es in einem zusammenhängenden Graphen zwei verschieden längste Wege gibt,
so haben diese einen gemeinsamen Knoten.