Einführung in die Diskrete Mathematik 8.¨Ubung

Wintersemester 2011/12
Forschungsinstitut für Diskrete Mathematik
Prof. Dr. S. Hougardy
Universität Bonn
Dr. U. Brenner
Einführung in die Diskrete Mathematik
8. Übung
1. Betrachten Sie die folgende Variante des Bellman-Ford-Algorithmus: Numeriere die Knoten
des gegebenen Graphen G in einer beliebigen Reihenfolge, es sei also V (G) = {v1 , . . . , vn }. Betrachte
nun in jeder Iteration die Kanten in folgender Reihenfolge: Durchlaufe die Knoten von v1 nach vn
und betrachte für jeden dabei besuchten Knoten vi alle Kanten (vi , vj ) ∈ E(G) mit i < j, um l(vj )
neu zu setzen. Durchlaufe anschließend alle Knoten von vn nach v1 und betrachte für jeden dabei
besuchten Knoten vi alle Kanten (vi , vj ) ∈ E(G) mit j < i, um l(vj ) neu zu setzen. Zeigen Sie,
daß, wenn man in jeder Iteration alle Kanten in dieser Reihenfolge betrachtet, d n2 e + 1 Iterationen
ausreichend sind.
(4 Punkte)
2. Betrachten Sie folgende Version des Bellman-Ford-Algorithmus: Solange es eine Kante (v, w)
mit l(w) > l(v) + c((v, w)) gibt, wähle eine beliebige solche Kante aus und setze l(w) = l(v) +
c((v, w)). Zeigen Sie, daß diese Vorgehensweise bei einer ungeschickten Wahl der Kantenreihenfolge
eine exponentielle Zahl von Knotenlabel-Änderungen notwendig machen kann.
(4 Punkte)
3. Sei G ein kreisfreier gerichteter Graph mit n Knoten. Entfernt man aus G nacheinander alle Kanten
(v, w), für die es einen v-w-Weg gibt, der aus mehr als einer Kante besteht, so nennt man das
Ergebnis die transitive Reduktion von G. Wie kann man in Zeit O(n3 ) die transitive Reduktion
eines kreisfreien Graphen berechnen?
(4 Punkte)
Hinweis: Modifizieren Sie den Floyd-Warshall-Algorithmus.
4. Die Zeitsteuerungsbedingungen ( timing constraints“) eines Logikchips lassen sich durch einen ge”
richteten Graphen G mit Kantengewichten c : E(G) → R+ darstellen. Dabei entsprechen die Knoten
den Speicherelementen und die Kanten gewissen durch die kombinatorische Logik definierten Wegen, während die Gewichte (Schätzungen der) Signallaufzeiten entsprechen. Eine wichtige Aufgabe
des VLSI-Chip-Designs (VLSI bedeutet very large scale integrated“) ist es, einen optimalen Clock”
Zeitplan zu finden, d.h. eine möglichst kleine Zahl T und eine Abbildung a : V (G) → R mit der
Eigenschaft, daß a(v) + c((v, w)) ≤ a(w) + T für alle (v, w) ∈ E(G). T ist die Zykluszeit des Chips,
und a(v) bzw. a(v) + T sind die Startzeit bzw. die späteste zulässige Ankunftszeit des Signals in v.
a) Reduzieren Sie das Problem, das optimale T zu finden, auf das Minimum-Mean-CycleProblem.
b) Zeigen Sie, wie man die Zahlen a(v) einer optimalen Lösung effizient bestimmen kann.
c) Typischerweise sind einige der Zahlen a(v) vorab festgelegt. Man zeige, wie man in diesem Fall
das Problem lösen würde.
(4 Punkte)
Abgabe: Dienstag, den 6.12.2011, vor der Vorlesung.