Logik in der Informatik, ¨Ubungsblatt 1

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
http://www.tu-ilmenau.de/tinf/lehre/ss-2012/logik-in-der-informatik/
Logik in der Informatik, Übungsblatt 1
Die Übungsaufgaben werden in den Übungsveranstaltungen am 17.04.2012 besprochen.
Übungsaufgaben
(1) Geben Sie die Definitionen und Beziehungen der folgenden Begriffe für aussagenlogische Formeln ϕ und ψ an (vgl. Vorlesung Logische Strukturen“ bzw. Literatur).
”
(a) ϕ ist erfüllbar.
(b) ϕ ist eine Tautologie.
(c) ϕ ist unerfüllbar.
(d) ψ ist eine Folgerung aus ϕ.
(2) Betrachten Sie die Signatur τ = {R}, {m}, ar mit ar(R) = 2. Geben Sie τ -Sätze ϕ1
bis ϕ9 an, so dass jede τ -Struktur A die Bedingung A |= ϕi genau dann erfüllt, wenn
gilt: RA ist. . .
(ϕ1 ) . . . die Gleichheitsrelation auf ||A||.
(ϕ2 ) . . . eine Äquivalenzrelation auf ||A||.
(ϕ3 ) . . . eine lineare Ordnung auf ||A||.
(ϕ4 ) . . . eine lineare Ordnung auf ||A|| mit größtem Element mA .
(ϕ5 ) . . . der Graph einer Funktion f : ||A|| → ||A||.
(ϕ6 ) . . . der Graph einer Funktion f : ||A|| → ||A|| mit Fixpunkt mA , d.h. f (mA ) =
mA .
(ϕ7 ) . . . der Graph einer injektiven Funktion f : ||A|| → ||A||.
(ϕ8 ) . . . der Graph einer surjektiven Funktion f : ||A|| → ||A||.
(ϕ9 ) . . . der Graph einer Bijektion f : ||A|| → ||A||.
(3) Betrachten Sie die Graph-Signatur τGraph = {E}, ∅, ar mit ar(E) = 2. Beschreiben
Sie verbal, welche Graph-Eigenschaften die nachstehenden τGraph -Formeln ϕ1 bis ϕ6
ausdrücken:
ϕ1 = ∀x ∃y : [E(x, y) ∧ E(y, x)]
ϕ2 = ∀x : [((∃y : E(x, y)) ∧ (∃y : E(y, x))]
ϕ3 = ∀x ∀y : [E(x, y) → E(y, x)]
ϕ4 = ∀x ∀y : [E(x, y) ∨ (∃z : E(x, z) ∧ E(z, y))]
In den folgenden beiden Formeln sei E 0 (x, y) eine Abkürzung für E(x, y) ∧ ¬(x = y):
ϕ5 = ∃x ∃y ∃z : [E 0 (x, y) ∧ E 0 (y, z) ∧ E 0 (z, x)]
ϕ6 = ∃=3 x ∃y ∃z : [E 0 (x, y) ∧ E 0 (y, z) ∧ E 0 (z, x)]
Geben Sie weiterhin für jede Formel jeweils ein Modell und einen Graphen, der kein
Modell ist, an.
Bitte wenden.
(4) Eine Formel ϕ ∈ FO[τ ] ist in Pränex-Normalform, wenn sie die Gestalt
Q1 x1 Q2 x2 . . . Qn xn : ψ
hat, wobei n ∈ N, Q1 , . . . , Qn ∈ {∃, ∀} und ψ keine Quantoren enthält.
(a) Nehmen Sie an, dass τ die beiden Relationssymbole P und S mit ar(P ) = ar(S) = 1
enthält. Zeigen Sie, dass es eine Formel ϕ ∈ FO[τ ] in Pränex-Normalform gibt,
die zur τ -Formel χ = (¬∃x : P (x)) äquivalent ist.
Hinweis: ϕ und χ sind äquivalent, wenn für jede τ -Struktur A und Belegung α
von A gilt: A |=α ϕ genau dann, wenn A |=α χ.
(b) Zeigen Sie die Behauptung aus (a) für die folgenden τ -Formeln anstelle von χ:
χ1 = ¬∀x : P (x)
χ2 = (∃x : P (x)) ∨ (∃x : S(x))
χ3 = (∃x : P (x)) ∨ (∀x : S(x))
χ4 = (∀x : P (x)) ∨ (∀x : S(x))
(c) Nutzen Sie die Ideen aus (a) und (b) um folgende Aussage zu beweisen: zu jeder Formel χ ∈ FO[τ ] existiert eine äquivalente Formel ϕ ∈ FO[τ ] in PränexNormalform.
Bemerkung: Für Formeln ϕ ∈ SO[τ ] kann man die Pränex-Normalform ebenfalls definieren und es gilt dann eine zu (c) analoge Aussage.
(5) Betrachten Sie die Signatur τ = ({E}, {c}, ar) mit ar(E) = 2 für Graphen mit einem
ausgezeichneten Knoten. Es sei G = (V, E, v1 ) der dargestellte Graph. Geben Sie einen
Satz ϕ ∈ FO[τ ] an, so dass für jeden Graphen G0 mit ausgezeichnetem Knoten gilt:
G0 |= ϕ genau dann, wenn G0 ∼
= G.
v2
v3
v1
v4
2