Institut für Physik Theoretische Physik

Institut für Physik
Theoretische Physik
Reinhard Alkofer
Graz, den 20.12.2005
Übungen zur “Quantenfeldtheorie”
— Blatt 9 —
Aufgabe 14 (Dimensionale Regularisierung des Tadpole):
Gegeben sei die Lagrangefunktion einer skalaren Feldtheorie in Dimension D mit Wechselwirkung und Skala µ,
1
g µ4−D 4
1
φ .
L = (∂ µ φ)(∂µ φ) − m2 φ2 −
2
2
4!
Im Folgenden soll der störungstheoretische Ausdruck des Tadpole-Diagramms berechnet werden, welches im Euklidischen Raum durch
−i 4−D
gµ
=
2
beschrieben wird, wobei
R
dD p =
R
Z
dD p
1
(2π)D p2 + m2
dΩD dp pD−1 .
a. Beweisen sie zunächst, dass das Winkelintegral den folgenden Ausdruck ergibt:
Z
D
2(π) 2
dΩD =
Γ( D2 )
b. Beweisen sie die Formel
Z
1
pD−1
=
dp 2
n
[p + △]
2
1
△
!n− D
2
Γ(n − D2 )Γ( d2 )
Γ(n)
Hinweis: Substituieren sie zunächst p → p2 , dann p2 →
Ausserdem gilt:
R1
0
dx xα−1 (1 − x)β−1 =
△
.
p2 +△
Γ(α)Γ(β)
.
Γ(α+β)
c. Benutzen sie die Ergebnisse aus (a) und (b) zur Berechnung des Tadpole-Diagrams zur
Ordnung ǫ0 .
Hinweis: Es gilt aǫ ≈ 1 + ǫln(a), ausserdem Γ(n) = (n − 1)! für ganze Zahlen n und
Γ(x) = x1 − γ + O(x).
Aufgabe 15 (Loop-Diagramm):
Berechnen sie im Rahmen derselben QFT die Amplitude das Diagramms
q/2−l
q/2−k
q/2+k
q/2+l
Zeigen sie dazu als erstes den Feynman-Trick
1
=
ab
Z
1
0
dz
1
[az + b(1 − z)]2
und bringen sie mit seiner Hilfe das Integral in eine solche Form, dass sie das Ergebnis aus
Aufgabe 14b benutzen können. Berechnen sie das Diagramm dann wieder zur Ordnung ǫ0 . Als
Ergebnis sollten sie den Ausdruck
ig 2 µǫ
ig 2 µǫ
−
γ+
16π 2 ǫ
32π 2
"
Z
0
1
m2 + q 2 z(1 − z)
dz ln
4πµ2
!#
erhalten.
Diskutieren sie den endlichen Anteil für verschiedene Wertebereiche von q 2 .
Dabei gilt:
q
R1
2
2
−4m2 /q 2 − 1 für −(q 2 ) < 4m2 .
0 dz ln(1 + z(1 − z)q /m ) = 2 w arccotw − 2 mit w =
Für welche Werte für q 2 hat die Amplitude einen Imaginärteil ?