Festkörperphysik - Blatt 9 - Bewegung im Magnetfeld und

Festkörperphysik - Blatt 9 - Bewegung im Magnetfeld und Paramagnetismus
Abgabe, Dienstag 30.06.09
Stichworte: Zyklotronmasse, lokalisierte magnetische Momente, Boltzmann Verteilung
1. Zyklotronmasse und Zyklotronfrequenz (6 Punkte)
Kristallelektronen, die sich in einem Magnetfeld (Flußdichte B) befinden, bewegen sich
im k-Raum auf Flächen konstanter Energie.
(a) Im Experiment werden stets extremale Bahnen beobachtet. Begründen Sie diese
Tatsache qualitativ.
(b) Welche Form besitzen Extremalbahnen im k-Raum, wenn für die Ladungsträger
2 2
eine isotrope Energie-Wellenvektor Beziehung E(k) = h̄2mk∗ gilt? Berechnen Sie die
resultierende Zyklotronfrequenz ωc und zeigen Sie, dass im vorliegenden Fall die
Zyklotronmasse mc mit der effektiven Masse m∗ übereinstimmt.
(c) Betrachten Sie Energieflächen, welche die Form von Rotationsellipsoiden mit transversaler bzw. longitudinaler effektiver Masse mt und ml aufweisen:
E(k) =
h̄2 kx2 + ky2
k2
(
+ z)
2
mt
ml
Berechnen Sie die Zyklotronfrequenz ωc für den Fall eines in z-Richtung angelegten
Magnetfeldes und leiten Sie daraus die Zyklotronmasse mc der Ladungsträger ab.
Wie ändern sich die Verhältnisse, wenn das Magnetfeld senkrecht zur z-Richtung
angelegt wird?
2. Hundsche Regel (3 Punkte)
Der elektronische Grundzustand einer Elektronenkonfiguration läßt sich bei Vorliegen
einer Russel-Saunders-Kopplung (LS-Kopplung) mittels der Hundschen Regeln bestimmen:
(a) Die Spins si orientieren sich so, daß unter Berücksichtigung des Pauliprinzips die
P
Gesamtspinquantenzahl S = i msi maximal wird.
(b) Die Bahndrehimpulse li orientieren sich so zueinander, daß sich unter Berücksichtigung
P
der ersten Regel eine maximale Gesamtdrehimpulszahl L = i mli ergibt.
(c) Der resultierende Gesamtdrehimpuls J besitzt für eine weniger als halbvolle Schalle
den Wert J = |L − S|, für eine mehr als halbvolle Schale den Wert J = L + S.
2+
Betimmen Sie den Grundzustand der 3d-Übergangsmetallionen T i2+ , Cr3+ und
q Cu und
berechnen Sie den g-Faktor und das effektive magnetische Moment: µef f = g J(J + 1)µB .
3. Paramagnetismus lokalisierter magnetischer Momente (4 Punkte)
Ein Atom mit dem Gesamtdrehimpuls jh̄ der Elektronenhülle kann im Magnetfeld B
folgende Energien annehmen: E = −µB mj B, wobei mj die Werte −j, −j + 1, . . . , j
annehmen kann. Unter der Annahme, daß die Zustände im thermischen Gleichgewicht
gemäß der Boltzmannstatistik besetzt werden, bestimme man die Magnetisierungsdichte
eines Systems von N Atomen im Volumen V . Diskutieren Sie das Ergebnis für µB B ¿
kB T und geben Sie die paramagnetische Suszeptibilität für diesen Fall an.