Wellenpakete

Theoretische Chemie III
Prof. Bernhard Dick
Christian Neiß
Uni Regensburg
SS 2004
Übung 6
Wellenpakete
1.
Gebundenes“ Wellenpaket
”
Betrachtet sei ein Teilchen der Masse m, welches sich entlang x ∈ [0; L] in einem
Potentialkasten der Länger L bewegt. Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Wellenfunktion
des Teilchens gegeben durch
r
1
ψ(t = 0) =
(ϕ1 + ϕ2 ),
2
wobei ϕ1 (x) und ϕ2 (x) die beiden niedrigsten Eigenfunktionen des Teilchens im
Kasten sind.
• Berechnen Sie den Erwartungswert hxi(t) = hψ(t)|x|ψ(t)i der Position des
Teilchens als
Zeit.
R L Funktion der
2
2πx
(Hinweis: 0 sin( πx
)
sin(
)x dx = − 8L
.)
L
L
9π 2
• Die Antwort ist hxi(t) = L2 − 16L
cos(ω21 t), mit ω21 = (E2 −E1 )/h̄. Stellen Sie
9π 2
hxi(t) grafisch dar, und vergleichen Sie diesen Graph mit der Trajektorie x(t)
eines klassischen Teilchens, welches sich mit der gleichen Periode T = 2π/ω21
bewegt.
• Berechnen Sie auch den Erwartungswert der Energie hĤi(t), sowie hĤ 2 i(t).
Berechnen Sie die Energieunschärfe ∆H.
• Unter der Annahme, dass ∆t = 1/ω21 ein Maß für die Zeitunschärfe des sich
bewegenden Teilchens sei, berechnen Sie das Produkt ∆H · ∆t.
2.
Freies“ Wellenpaket
”
Ein H2 - oder D2 -Molekül kann grob als harmonischer Oszillator mit der Kraftkonstante D = 5, 2 · 102 N/m idealisiert werden.
• In diesem Molekül sind die zeitunabhängigen, vibratorischen Grundzustandswellenfunktionen von H2 und D2 Gauß-Funktionen
x2
ϕ0 (x) = N0 e− 2σ .
√
Berechnen Sie die Breiten“ σ von H2 und D2 .
”
• Man nehme nun
an,
das harmonische Potential werde plötzlich entfernt.
√
Berechnen Sie σ für beide Moleküle,
(a) nach einer Vibrationsdauer“ T = 2π/ω,
”
(b) nach t = 1 Sekunde.
1