¨Ubungsblatt 6

Institut für Theoretische Physik der Universität Karlsruhe
Prof. Dr. F. R. Klinkhamer, Dr. Ch. Rupp
Theoretische Physik D im Sommersemester 2006
Übungsblatt 6
Name:
Tutorium:
Abgabe bis Dienstag, 6.6.06, 11:30
Punkte:
Aufgabe 14: Unschärfe eines Gaußschen Wellenpaketes
4 Punkte
Gegeben Sei das Gaußsche Wellenpaket aus Aufgabe 6,
¸
·
(x − x0 (t))2
i φ(x,t)
,
ψ(x, t) = N (t) e
exp −
4σ(t)2
wobei
N (t) = ³
α2 +
√
π
~2 2
t
4m2
´1/4 ,
~k0
x0 (t) =
t,
m
~t
2mα
θ(t) = arctan
a) Berechnen Sie
R
R dx ψ
2
σ(t) =
α2 +
~2 2
t
4m2
α
,
θ(t)
φ(x, t) = k0 x − ω0 t −
+
2
~ k02
ω0 =
.
2m
∗ (x, t) ψ(x, t).
~
2m
t (x − x0 (t))2
,
4α σ(t)2
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie für alle Zeiten t die Orts- und Impulsunschärfen
p
p
∆p = h(p − hpi)2 i
∆x = h(x − hxi)2 i ,
sowie das Unschärfeprodukt ∆x ∆p. (3 Punkte)
Hinweis: Verwenden Sie die Informationen aus den Aufgaben 5, 6 und 12.
Heisenberg fährt auf der Autobahn und wird von der Polizei angehalten. Der Beamte verlangt nach
dem Führerschein und dem Fahrzeugschein, schaut sich diese an und fragt: ”Herr Heisenberg, wissen
Sie, wie schnell Sie gefahren sind?” ”Nein”, antwortet Heisenberg, ”aber dafür weiß ich genau, wo ich
bin!”
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Aufgabe 15: Mikroskop und Unschärferelation
4 Punkte
Der Ort eines Elektrons soll bestimmt werden, indem man dieses durch ein Mikroskop betrachtet. Hierfür wird eine Linse mit Durchmesser D und Brennweite f verwendet. Wir stellen
uns vor, daß das Elektron an die Objektebene des Mikroskops gebunden ist. Das Elektron
wird von links mit Licht der Wellenlänge λ beleuchtet (siehe Skizze). Das Licht stellen wir
uns als einen Strom von Photonen vor, die mit dem Elektron elastisch zusammenstoßen und
teilweise zur Linse und dann in die Bildebene gestreut werden.
Im Folgenden betrachten wir nur die x-Komponente von Ort und Impuls.
Wie genau kann das Elektron nach den Regeln der klassischen Optik mit einem solchen
Mikroskop lokalisiert werden (dies liefert uns die Ortsunschärfe ∆x)?
Wir betrachten den einfachen Spezialfall, daß das Elektron vor der Wechselwirkung mit einem
Photon im Brennpunkt der Linse ruht (das Elektron wird also wie ein klassisches Teilchen
behandelt). Angenommen, ein Photon stößt mit dem Elektron zusammen und wird in die
Bildebene gestreut. In welchem Bereich kann dann der Impuls des Elektrons nach dem Stoß
liegen, d.h. wie groß ist die Impulsunschärfe ∆p?
Berechnen Sie das Unschärfeprodukt ∆x ∆p für den Fall kleiner Winkel.
Aufgabe 16: Unschärfe in der klassischen Mechanik
4 Punkte
Wir betrachten ein Punktteilchen der Masse m, das sich gemäß den Gesetzen der klassischen
Mechanik in einer Dimension frei bewegt. Zur Zeit t = 0 seien Ort und Impuls des Teilchens
aufgrund einer ungenauen Messung nicht genau bekannt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für
Ort und Impuls habe die Form f (x, p) = g(x)h(p). Die Wahrscheinlichkeit,
daß der Ort des
Rx
Teilchens zur Zeit t = 0 im Intervall [x1 , x2 ] liegt, ist also x12 dx g(x); die Wahrscheinlichkeit,
Rp
daß der Impuls des Teilchens zur Zeit t = 0 im Intervall [p1 , p2 ] liegt, ist p12 dp h(p).
Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung für Ort und Impuls des Teilchens zur
Zeit t > 0 und drücken Sie diese durch die entsprechenden Erwartungswerte und Standardabweichungen zur Zeit t = 0 aus.
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