eN)x( ⋅= ψ (x) N ee χ = ⋅ (x) N e ψ

Übungen zu L2
Blatt 4
24) Wir kennen für das Gaußsche Wellenpaket
ψ(x) = N ⋅ e − x
2
/ 2a 2
1
( N=
a π
)

. Damit kennen wir auch den Erwartungswert für die
2a 2
2
den Erwartungswert
p2 =
kinetische Energie. Bestimmen Sie daraus eine typische Breite (oder den Bereich möglicher
Breiten) a zur Beschreibung von thermischen Eisen-Atomen!
25) Nun betrachten wir ein „beschleunigtes“ Wellenpaket
a)
b)
χ(x) = N ⋅ eik 0 x e − x
2
/ 2a 2
.
Was ist nun der Erwartungswert der kinetischen Energie?
Was ist der Bereich möglicher Werte für (k0 ,a) für thermische Eisenatome?

26) Was ist der Erwartungswert p 2 für das Wellenpaket
2
2

ψ (x) = N 3 ⋅ e − x / 2a
?
27) Ein Teilchen sei im eindimensionalen Kasten im Zustand mit der Wellenfunktion
ψ (x) =
2
5πx
sin


für x ∈[0, ]
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen
a) in dem ersten Zehntel des Kastens, [0,  /10] ,
b) im ersten linken Teil [0,  / 20] zu finden?
c) Diskussion der Resultate anhand einer Skizze!
28) Wie verhalten sich die Dichten der Wellen mit scharfer Energie bei möglichem Durchtunneln durch eine Potentialbarriere von 5 Å Länge mit der Energiedifferenz von 1 eV
zwischen Energie des Teilchens und Energie-höhe der Barriere?
29) Bewegung im Kasten:
Ψ(x,t) = [Ψn+1(x,t) + Ψn(x,t)]/ 2
zweier EnergieWir betrachten die Überlagerung
Eigenfunktionen im Kasten-Potential. Mit der Produktform Ψ n (x, t) = e − iωn t ψ n (x) kann
man dieses Ψ in die Form e − iωn t [ ψ n (x) + f (t)ψ n +1 (x) ] / 2 bringen. Was ist f(t)? In welcher
Zeitdauer T ist f(T) = f(0), wobei f(T/2) = −f(0) ist? Vergleichen sie diese Zeitdauer T mit der
Periode des hin- und zurück-Laufens eines klassischen Teilchens mit der Energie En= ωn !
30) Was ergibt die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für den X-Operator und für den
Impuls-Operator im eindimensionalen harmonischen Oszillator? (Einfach die
Kommutatoren ausrechnen)