here - Uni Regensburg/Physik

WS 2016/2017
Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Prof. Dr. Ferdinand Evers, Dr. Daniel Hernangómez
Lars Milz, Phillipp Reck, Matthias Stosiek
http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/evers/courses/qmech.phtml
Blatt 3
“Übungen zur Theoretische Physik II Quantenmechanik für LA und Nanoscience”
Diskussion: 9./10. November 2016
1 Erwartungswert des Impulsoperators
(2 Punkte)
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert des Impulsoperators p̂ = −i~∇r im Zustand ψ(r, t)
durch
Z
hp̂i =
dp p|ψ(p, t)|2
ausgedrückt werden kann, wobei ψ(p, t) die Fourier-Transformierte von ψ(r, t) ist.
Hinweis: Benutzen Sie die symmetrische Konvention der Fourier-Transformation in der
Anmerkung.
2∗ Schwerpunkt und Kontinuitätsgleichung
(3 Bonuspunkte)
Rufen Sie sich die Kontinuitätsgleichung aus der Vorlesung ins Gedächtnis, die die Rate des
Flusses der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(r, t) = |ψ(r, t)|2 beschreibt. Beweisen Sie, dass
Z
hv̂i = ∂t
dr rρ(r, t),
gilt, wobei der Erwartungswert des Geschwindigkeitsoperators durch hv̂i = hp̂/mi gegeben
ist. Geben Sie eine physikalische Interpretation für diese Relation.
3 Parseval’s / Plancherel’s Theorem
(2 Punkte)
Zeigen Sie, indem Sie die Konvention der Fourier-Transformation aus der Anmerkung
verwenden, dass
Z
∗
dr ψ (r)ϕ(r) =
gilt.
Z
dp ψ ∗ (p)ϕ(p)
Untersuchen Sie den Spezialfall ψ(r) = ϕ(r). Was ist die physikalische Interpretation dieses
Ergebnisses?
Weitere Literatur: C. Cohen-Tannoudji, et al., Quantenmechanik (Band 1), Kapitel II A 3.a
4 Rechteckige Potentialstufe
(8 Punkte)
Betrachten Sie ein Quantenteilchen in der Gegenwart eines eindimensionalen Potentials V (x)
gegeben durch

0 if x < 0
V (x) = V0 Θ(x) =
V0 if x ≥ 0
mit V0 ∈ R>0 . Nehmen Sie an, dass das Teilchen von links auf die Potentialstufe zu läuft.
Berechnen und skizzieren Sie den Reflexions- und den Transmissionskoeffizienten R und
T , indem Sie die Randbedingungen der Schrödingergleichung in den folgenden Situationen
anwenden:
a) E > V0 (Quantenreflexion)
Zeigen Sie, dass für ein Quantenteilchen R 6= 0 gilt und dass Sie das klassische Ergebnis
R → 0 erhalten für E V0 .
b) V0 > E > 0 (Eindringen in ein klassisch verbotenes Gebiet).
Was ist die Eindringtiefe (penetration depth) ξ in ein klassisch verbotenes Gebiet [V (x) ≥
E]?
5 Rechteckige Potentialbarriere
(10 Punkte)
Aufgabe 4 folgend betrachten wir ein Quantenteilchen in der Gegenwart eines eindimensionalen Potentials V (x), gegeben durch die Funktion

V if x ∈ [−L, L]
0
V (x) = V0 Θ(L − |x|) =
0 if x ∈ [−∞, −L) ∪ (L, +∞]
mit V0 ∈ R>0 . Nehmen Sie an, dass das Teilchen von links auf die Potentialstufe zu läuft.
Berechnen und skizzieren Sie den Reflexions- und den Transmissionskoeffizienten R und
T , indem Sie die Randbedingungen der Schrödingergleichung in den folgenden Situationen
anwenden:
a) E > V0 (Resonante Streuung)
Finden Sie die Energiewerte, für die T = 1 gilt und bestätigen Sie, dass sie einer Situation
mit konstruktiver Interferenz entsprechen.
b) V0 > E > 0 (Tunneleffekt)
Zeigen Sie, dass die Transmission, im Grenzfall einer breiten Barriere im Vergleich zur Eindringtiefe (penetration depth), exponentiell abfällt: T = A(E, V0 ) exp(−2L/ξ). Bestimmen
Sie den Koeffizienten A(E, V0 ).
Anmerkung: Unitäre Fourier-Transformation
Auf diesem Übungsblatt werden wir die folgende, symmetrische Konvention der Fourier-Transformation
verwenden:
Z
i
1
ψ(p, t) =
dx ψ(r, t)e− ~ p·x ,
3/2
(2π~)
R3
Z
i
1
ψ(x, t) =
dp ψ(p, t)e ~ p·x ,
3/2
(2π~)
R3
wobei der Faktor (2π~)3 gleichermaßen auf die Fourier-Transformation und ihre inverse aufgeteilt
wird. Die Fourier-Transformation in dieser Definition ist eine unitäre Transformation im Funktionenraum L2 (R3 ), die das innere Produkt erhält.