4.¨Ubungsblatt

PD Dr. M. Buballa
Pascal Büscher
Institut für Kernphysik
Quantentheorie und Statistische Physik
für LaG
4. Übungsblatt
5. Juni 2013
Präsenzübung
P8
Hermitezität, Kommutatoren und Eigenbasen
Zeigen Sie, dass
a) Â, B̂ hermitesch ⇒ i[Â, B̂] hermitesch.
b) Â, B̂ haben eine gemeinsame Eigenbasis genau dann, wenn [Â, B̂] = 0. Vernachlässigen Sie dabei Entartung.
P9
Reflexion und Transmission
Ein Strom von Teilchen mit Masse m und Energie E > V0 trifft, von links einlaufend, auf
eine Potentialstufe V (x) = V0 Θ(x).
a) Lösen Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für obiges Potential.
b) Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Teilchenfluss) ist gegeben durch
j=
∂
~ ∗ ∂
ψ
ψ − ψ ψ∗ .
2im
∂x
∂x
(P9.1)
Zeigen Sie mit (P9.1), dass Stromerhaltung gilt, d.h. dass der Strom des reflektierten und des transmittierten Anteils der Wellenfunktion zusammen den Strom
des einfallenden Anteils ergeben.
Hausübung
(Abgabe Di, 18. Juni 2013, in der Vorlesung)
H11
Kommutator in Orts- und Impulsraum
(1 Punkt)
Leiten Sie die Kommutatorrelationen für die Komponenten der dreidimensionalen Ortsund Impulsoperatoren rˆi und pˆj ([rˆi , pˆj ], [rˆi , rˆj ] und [pˆi , pˆj ]) sowohl im Orts- als auch im
Impulsraum her.
1
H12
Endlich hoher Potentialtopf
(1 Punkt)
Ein endlich hoher Potentialtopf sei definiert durch das Potential


für x < −a
0
V (x) = −V0 für − a ≤ x ≤ a .


0
für x > a
(H12.1)
Welche Form nimmt die Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung in den verschiedenen Abschnitten an? Betrachten Sie dabei sowohl den Fall E > 0 als auch
−V0 < E < 0. Bestimmen Sie die Lösung bis auf die Normierungskonstanten. Welche
Anschlussbedingungen müssen für die Wellenfunktion an den Abschnittsgrenzen gelten?
(Sie müssen diese nicht lösen! Drücken Sie nur die bei x = a in Normierungskonstanten
aus.)
H13
Linearer Potentialanstieg
(1,5 Punkte)
In der Vorlesung werden meist unstetige Potentialstufen betrachtet. Hier wollen wir nun
eine Potentialstufe mit linearem Anstieg betrachten, die durch

 0 x<0
ax 0 ≤ x ≤ Va0
Va (x) =
(H13.1)

V0 x > Va0
gegeben sei.
a) Skizzieren Sie den Potentialverlauf von Va (x) und lösen Sie die stationäre Schrödingergleichung für alle drei Bereiche. Nehmen Sie dabei an, dass V0 > E ist.
b) Welche Anschlussbedingungen müssen gelten? Bestimmen Sie an den Abschnittsgrenzen die Funktionen des Abschnitts rechts der Grenze in Abhängigkeit der Lösung
des Abschnitts links der Grenze.
c) Wie verhält sich die Lösung und deren Ableitung für den linearen Abschnitt an den
beiden Abschnittsgrenzen im Grenzfall einer unstetigen Potentialstufe, d.h. wenn
a → ∞?
√
d2 y
3
Hinweis: Die DGL dx
α x) und
2 (x) − αxy(x) = 0 wird durch die Airy-Funktionen Ai(
√
√
√
3
3
3
Bi( α x) gelöst. Ai( α x) und Bi( α x) sind dabei linear unabhängige Lösungen der
DGL. Die Airy-Funktionen haben die Eigenschaft, dass Ai(x)Bi0 (x) − Bi(x)Ai0 (x) =
const. 6= 0. Außerdem kann man die Airy-Funktionen um 0 entwickeln:
Ai(x) ≈Ai(0) + Ai0 (0)x + 16 Ai000 (0)x3 + . . .
Bi(x) ≈Bi(0) + Bi0 (0)x + 61 Bi000 (0)x3 + . . . ,
(H13.2)
wobei die Koeffizienten Ai(0), Ai0 (0), Ai000 (0), Bi(0), Bi0 (0) und Bi000 (0) alle ungleich 0
sind. Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen Sie nicht das genaue Aussehen der
Airy-Funktionen kennen.
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