¨Ubungen zur T2p Quantenmechanik Blatt 6

LMU München / Fakultät für Physik WS 2010/11
Übungen zur T2p Quantenmechanik
Blatt 6
19.11.2010
6.1 Wiederholung/Kurzfragen
1.) Wie lauten die Stetigkeits- und Randbedingungen für die Eigenfunktionen des HamiltonOperators?
2.) Was sind die qualitativen Eigenschaften der q.m. Lösungen für den endlichen Potentialtopf? Vergleich mit dem klassischen Fall?
3.) Wie sind Reflexions- und Transmissionskoeffizient R und T definiert? Welche Beziehung
erfüllen sie?
6.2 Kurzaufgaben
1.) Wir betrachten ein 1-dim. Teilchen im Potential V (x). Zeigen Sie, dass die Energie E
des Teilchens größer sein muss, als der kleinste Wert Vmin des Potentials. Macht diese
Einschränkung auch klassisch Sinn? Hinweis: Stellen Sie die zeitunabhängige SchrödingerGleichung um, so dass Sie ψ(x) und ψ(x)00 vergleichen können. Argumentieren Sie dann,
dass es für E ≤ Vmin keine normierbaren Lösungen gibt.
6.3 Aufgaben
1.) Endlicher Potentialtopf: Gegeben ist ein endlicher Potentialtopf mit Potential
(
−V0 < 0 falls 0 < x < L
V (x) =
0
sonst
a) Zeigen Sie, dass die erlaubten Energieeigenwerte
für die gebundenen
q 2
q 2 Zustände durch
z0
z
die Lösungen der Gleichungen tan z = z 2 − 1 und − cot z = z02 − 1 gegeben sind,
√
√
2m(E+V0 ) L
2mV0 L
,
z
=
.
mit den Definitionen z =
0
2~
2~
b) Leiten Sie das Energiespektrum im Grenzfall V0 → ∞ her.
c) Betrachten Sie den limes L → 0 um den Bindungszustand für ein Delta-Potential zu
erhalten.
2.) Streuung an Potentialbarriere: Gegeben ist die Potentialstufe:
(
V0 > 0 falls x > 0
V (x) =
0
sonst
Betrachten Sie den Fall bei dem von links (x = −∞) eine ebene Welle auf die Potentialstufe
trifft (rechts-laufender Anteil ϕ(x) = eikx für x < 0, links-laufender Anteil null für x > 0).
Hinweis: Betrachten Sie die Fälle E > V0 und E < V0 getrennt.
a) Geben Sie die allgemeine Lösung der zeitunabhängigen S.G. in den zwei Bereichen
x < 0 und x > 0 an.
b) Bestimmen Sie die Lösung des gegebenen Problems aus den Anfangsbedingungen und
den geeigneten Randbedingungen bei x = 0.
c) Berechnen Sie die Stromdichte für die einfallende, die reflektierte und die durchlaufenden Welle. Welche Bedingung gilt zwischen den Beträgen der Stromdichten? Hätte
man das auch schneller sehen können?
d) Wie kann man das obige Ergebnis benutzen, um die Streuung eines von links einlaufenden Teilchens an der Potentialbarriere zu berechnen? Skizzieren Sie den Verlauf
der Transmissionswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von E.
e) Inwieweit unterscheiden sich die Ergebnisse qualitativ vom klassischen Resultat?