1 Die Schrödinger Gleichung

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Die Schrödinger Gleichung
1.1
Die Wellenfunktion und ihre Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Aus den Versuchen der Elektronenbeugung, hat ein Elektron auch Welleneip
~2
genschaften. Für freie Elektronen mit dem Impuls p~ und der Energie E = 2m
kann eine Wellenfunktion Ψ(~x, t) angesetzt werden.
~
Ψ(~x, t) = Cei(k~x−ωt)
(1)
mit ω = E/h̄ und ~k = p~/h̄.
Aus dem Versuch mit dem Doppelspalt (siehe Vorlesung) ist der dritte Summand in der Gesamtintensität gleich dem Interferenzterm.
I = |E(x, t)|2 = I1 + I2 + 2Re(E1∗ · E2 )
(2)
Das führt uns zur Hypothese: Die Wellenfunktion liefert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
ρ(~x, t) = |ψ(~x, t)|2
(3)
Nun wird versucht eine Theorie aufzustellen, welche die Wellenfunktion
Ψ(~x, t) und damit eine statistische Beschreibung für den Ausgang von Experimenten liefert. Diese Theorie muß im Grenzfall makroskopischer Objekte
ind die klassische Mechanik übergehen.
1.2
Die Schrödingergleichung für freie Teilchen
Freie Teilchen haben eine Bewegungsgleichung und diese muss für Ψ(~x, t)
gelten.
Die Anforderungen an die Bew.GL für Ψ(~x, t) wären:
1. Sie muss eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit sein,
damit Ψ(~x, t) durch die Anfangsverteilung Ψ(~x, 0) bestimmt ist.
2. Sie muss linear in Ψ sein, damit das Superpositionsprinzip gilt. Also
sollen linearkombinationen von Lösungen, wieder gültige Lösungen sein.
(Deshalb treten in der Optik zB Interferenzeffekte auf. Diese folgen
dort ebenfalls aus der Linearität der MAxwell Gleichungen.) Deswegen
dürfen Konstanten in der Gleichung keine Größen enthalten, die vom
spezifischen Zustand des Teilchens abhängen, wie dessen Energie oder
sein Impuls.
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3. Die Gleichung muss homogen sein, damit
Z
d3 x|Ψ(~x, t)|2 = 1
(4)
für alle Zeiten gilt. Die Wahrscheinlihckeit das Teilchen irgendwo im
Raum zu finden muss 1 sein! (Normierung!) Andernfalls könnte bei
einem fiktiven Wert von 1/2 z.B. das Teilchen im Raum einfach verschwinden. Das gibt es nicht.
4. Ebene Wellen nach Gleichung (1) sollen lösungen dieser Gleichung sein.
Für sie gilt:
∂
i p~2
i h̄2 2
Ψ(~x, t) = −
Ψ(~x, t) =
∇ Ψ(~x, t)
∂t
h̄ 2m
h̄ 2m
(5)
Aus den Postulaten 1 bis 4 erhalten wir also:
1.2.1
Die zeitabhängige Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen
∂
h̄2 2
Ψ(~x, t) = −
∇ Ψ(~x, t)
∂t
2m
Zusammenfassend kann gesagt werden:
ih̄
(6)
• Die Schrödinger Gleichung ist ein Postulat
• Sie ist eine Bewegungsgleichung für MAterieteilchen
• Unterschiedliche Dispersionsrelationen bei elm. Wellen, hier sind es
quadratische Dispersionsrelatinen. Daher gibt es nur komplexe Lösungen.
• Sie ist eine lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung. Daher folgen Superposition und Linearkombinationen von Lösungen.
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Allgemeine Diskussion der 1 dimensionalen
SGL für ein symmetrisches Potential
Wir wollen wissen inwieweit die Eigenschaften für Modellpotentiale (Oszillator, Kasten,..) allgemein gültig sind. Die eindimensionale Schrödingergleichung
lautet:
2m
(V (x) − E)Ψ(x)
(7)
h̄2
Für ein kurzreichweitiges symmetrisches Potential (Abbilduung 1), kann
es Bereiche mit Energien größer oder kleiner als V(x) geben.
′′
Ψ =
Abbildung 1: Ein kurzreichweitiges Symmetrisches Potential.
Ist V(x) - E > 0, dann hat Ψ” ein gleiches Vorzeichen wie Ψ.
Ψ ist also konvex zur x-Achse (also von ihr weggekrümmt).
Abbildung 2: Lösungen der SGL in Bereichen V(x) - E > 0.
Ist V(x) - E < 0: Ψ” hat entgegengesetztes Vorzeichen zu Ψ. Die Wellenfunktion ist konkav zur x-Achse. Die stetig differenzierbaren Lösungen der
Schrödinger Gleichung, setzen sich somit (Superposition) aus beiden Bereichen der Abbildungen 2 und 3 zusammen!
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Abbildung 3: Lösungen der SGL in Bereichen V(x) - E < 0.
2.1
E < Vmin
Untersuchen wir nach Abbildung 1 den Fall:E < Vmin . Dann würde
V(x)-E > 0 eintreten und eine Lösung würde im unendlichen divergieren..
Daher gibt es für E < Vmin keine Lösung!
2.2
Vmin < E < 0
Abbildung 4: Bindungszustande.
Das ist der Bereich der Bindungszustände. Sihe Abb. 4.Die Gerade E
schneidet das Potential an den Wendepunkten (W.P.). Ausserhalb der W.P.
ist die Lösung von der x-Achse weggekrümmt, innerhalb ist sie zu der x-Achse
hingekrümmt.
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Vereinfachung der Lösung ausserhalb der WP:
q
exp(± [2m(V (x) − E)]/h̄ · x)
(8)
Vereinfachung der Lösung innerhalb der WP:
− cos(x ·
q
[2m(E − V (x))]/h̄)
(9)
Bei Energie erhöhung schieben siech die W.P. nach außen. Daraus folgt,
das die Funktion Ψ(x) mit x > 0 im Außenbereich weniger weggekrümmt
ist. Im Innenbereich dagegen ist sie stärker zur x-Achse gekrümmt.
Bindungszustände lassen sich finden, indem man Lösungen die im unendlichen exponentiell abfallen, symmetrisch oder antisymmetrisch zusammen′
setzt, sodass Ψ und Ψ am Ursprung stetig sind. Das wird in den folgenden
Schritten A bis D skizziert. Die sich ergebenden Lösungsfolgen für Energie
Werte liegen im Intervall [Vmin , 0]. Die Energie nimmt von A bis D immer zu
und dabei verschieben sich die W.P nach außen.
Abbildung 5: Bindungszustand A. Bei E = Vmin fallen die W.P. im Ursprung
zusammen. Erhöht man die Energie so wanderen die W.P. nach aussen, siehe
Bild.
Quelle: Schwabl Quantenmechanik. 6. Auflage.
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Abbildung 6: Bindungszustand B. Die senkrecht strichlierten linien sind die
Positionen der W.P. bei der jeweiligen Energie.
Abbildung 7: Bindungszustand C. Die Wellenfunktion im Innenbereich ist
stark nach unten gekrümmt. Die Ableitungen der beiden durchgezogenen
Kurven (links und rechts) sind immer ncoh verschieden und ergeben keine
zulässige Wellenfunktion.
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Abbildung 8: Bindungszustand D. Erst hier ist die Energie so groß das Ψ
im Ursprung ist. Die strichlierte Kurve ergibt mit der rechten durchgezogenen Kurve eine stetig differenzierbare Lösung. Dies entspricht einem ersten
angeregten Zustand mit einem Knoten.
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