9. Übungsblatt

INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. W. Brenig
M.Sc. Boris Celan
Quantentheorie
9. Übungsblatt
WS 2014/15
Abgabe: Di, 06.01.2015 bis 11.30 Uhr, Kasten neben A316
Übungsblätter gibt es unter https://www.tu-bs.de/theophys/edu/wise-1415/quanten.
Die Abgabe erfolgt freiwillig - die Themen dieses Zettels sind nicht Prüfungsrelevant
24. ’Recurrence’: Wiederauferstehung in der Quantenmechanik (20 Bonuspunkte)
Wir betrachten in dieser Aufgabe die zeitliche Entwicklung eines Teilchens, welches sich in
einem eindimensionalen Kasten der Länge L = 1 befindet. Die Lösung soll dabei numerisch
bestimmt und anschließend visualisiert werden. Die zeitliche Entwicklung ist gegeben durch
1
die Schrödingergleichung (~ = 1, 2m
= 1)
(
∞ für 0 > x > 1
∂2
∂
.
i Ψ(x, t) = HΨ(x, t), H = − 2 + V (x), V (x) =
∂t
∂x
0
für 0 ≤ x ≤ 1
Das Teilchen sei zum
Zeitpunkt
t = 0 in einem Gauß’schen Wellenpaket lokalisiert
(x−x0 )2
ikx
Ψ(x, 0) = e exp − 2σ2 , wobei k = 40 der mittlere Impuls, σ = 0.05 die Breite und
x0 = 0.25 das Zentrum des Wellenpakets sind.
Wir diskretisieren die Wellenfunktion Ψ(x, t) sowohl im Ort x = j dx als auch in der Zeit
t = n dt bzw. Ψjn ≡ Ψ(j dx, n dt). Wobei dx und dt im Programm später konstante, endlich
kleine Größen sind.
Die Diskretisierung der zweiten Ableitung nach dem Ort im Hamiltonoperator H soll gegeben
sein durch
1
j+1
j
j−1
Ψ
−
2Ψ
+
Ψ
+ V j Ψjn .
(1)
(HΨ)jn = −
n
n
n
(dx)2
Hinweis: Für unser Problem ist V j innerhalb des Kastens trivial. Die ∞-Bedingung kann
dadurch eingebaut werden indem wir fordern, dass die Wellenfunktion am Rand verschwindet.
D.h. Ψ0n ≡ 0 ≡ ΨJn ,wobei J die Anzahl der Gitterpunkte in x-Richtung ist.
(a) Neben der Diskretisierung der Ortskoordinate x müssen wir noch eine Entwicklung in
der Zeit t durchführen. Dabei kann die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
mithilfe des Zeitentwicklungsoperators U(t) geschrieben werden zu
Ψ(x, t + dt) = U(dt) Ψ(x, t) = e −iHdt Ψ(x, t) .
(2)
Wir benutzen folgende Entwicklung1 für den Operator U(dt)2
−1 −1
i
i
−iHdt
iHdt/2
−iHdt/2
e
= e
e
≈ 1 + Hdt
1 − Hdt .
2
2
Bitte wenden! →
1
Eine allgemeine Formulierung dieses Verfahrens für Wärmeleitungsgleichungen wurde von der
Mathematikerin Phyllis Nicolson und dem mathematischen Physiker John Crank 1947 veröffentlicht und ist als Crank-Nicolson-Methode bekannt.
2
Im Gegensatz zu einer einfachen Entwicklung der e-Funktion bis O(dt), bleibt hiermit die
Norm der Wellenfunktion erhalten, da der Operator auf der rechten Seite unitär ist.
ı. Zeigen Sie, dass sich die Lösung der Schrödingergleichung aus Gleichung (2) mit der
gegebenen Entwicklung schreiben lässt zu
i
i
j
(3)
1 + Hdt Ψn+1 = 1 − Hdt Ψjn .
2
2
ıı. Zeigen Sie mithilfe von Gleichung (1) und Gleichung (3), dass gilt
2(dx)2
2 j
−
(dx)
V
−
2
Ψjn+1 + Ψj−1
Ψj+1
+
i
n+1 =
n+1
dt
2(dx)2
j+1
2 j
−Ψn + i
+ (dx) V + 2 Ψjn − Ψj−1
= Ωjn .
n
dt
(4)
Dieses Gleichungssystem hat die Form
TΨn+1 = Ωn ,
wobei T eine Tridiagonalmatrix ist und Ψn+1 und Ωn Vektoren mit J Einträgen.
ııı. Benutzen Sie folgenden Ansatz
j
j
j
Ψj+1
n+1 = a Ψn+1 + bn ,
um die Lösung des Gleichungssystems aus Gl. (4) zu bestimmen und zeigen Sie,
dass für aj und bnj gilt
aj = 2 + (dx)2 V j − i
2(dx)2
1
− j−1 ,
dt
a
bnj = Ωjn +
bnj−1
.
aj−1
(5)
(b) Schreiben Sie ein Programm, welches aus einem gegebenen Anfangszustand Ψj0 (das
gegebene Gauß’sche Wellenpaket), der Randbedingung ΨJn+1 = 0, der Gleichung
Ψjn+1 =
j
Ψj+1
n+1 − bn
,
aj
(6)
sowie den Bestimmungsgleichungen für aj und bnj die zeitliche Entwicklung des Anfangszustandes berechnet. Ihr Programm sollte folgende Schritte enthalten
i. Initialisierung des Anfangszustandes Ψj0 und die Berechnung von Ωj0
ii. Rekursive Berechnung von aj , wobei a1 gesondert betrachtet werden muss.
iii. Rekursive Berechnung von bnj für eine feste Zeit n, wobei der Anfangswert bn1 gesondert betrachtet werden muss.
iv. Berechnung von Ψjn+1 mithilfe der Randbedingung ΨJn+1 = 0 und den dann schon
berechneten aj und bnj . Dies bestimmt wegen Gleichung (4) auch Ωjn+1 .
v. Wiederholen Sie Schritt 24(b)iii. und Schritt 24(b)iv. für n = 0, 1, 2, ....
Visualisieren Sie anschließend die zeitliche Entwicklung Ihres Zustandes (=Aufenthaltswahrscheinlichkeit!) und zeigen Sie, dass das Teilchen zunächst in einen ’chaotischen’
Wellenzug zerfällt, jedoch nach einer Zeit T ≈ π2 komplett wieder in seinen Anfangszustand zurückkehrt (Recurrence) (sollten Sie diesen Effekt nicht beobachten so versuchen
Sie dt kleiner zu wählen)!
Wichtig: Sie können diesen Aufgabenteil unabhängig von dem Vorherigen bearbeiten,
indem Sie die Ergebnisse und Gleichungen unbewiesen benutzen! Benutzen Sie eine
gängige Programmiersprache und geben Sie die Programme inkl. Auswertung und Visualisierung zusätzlich in elektronischer Form ab (E-Mail:[email protected]).