Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2007/2008

Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2007/2008 - Prof. H. Kroha
Dr. D. N. Chigrin
http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/groups/kroha/teaching/QM2 WS07/
Übungsblatt 2
Besprechung: 5. November - 9. November
mit σx (0) = σx = 1/σ.
q
a) Zeigen Sie, daß bei folgender Dispersion, ω(k) = c k 2 +
lenpaket eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung ist.
mc 2
,
~
das Gauss’sches Wel-
2.1 Lorentzkontraktion (2 Punkte)
b) Transformieren Sie das Gauss’sche Wellenpaket ϕ(t, x) in ein bewegtes Koordinatensystem, das sich in Richtung x mit Geschwindigkeit βc bewegt [ϕ(t, x) → ϕ′ (t′ , x′ ) =
ϕ(t′ , x′ )]. Zeichnen Sie das Gauss’sche Wellenpaket.
Die Lorentzkontraktion besagt, daß bewegte Objekte in Bewegungsrichtung für einen ruhenden Beobachter um 1/γ verkürzt sind. Wir betrachten ein Rechteck, das sich in Richtung
einer seiner Kanten (AD = a) mit der Geschwindigkeit βc bewegt [siehe Abb.1a)]. Das Licht
welches zum Zeitpunkt t von der Ecke B emitiert wird, kann auf Grund der Bewegung des
Rechtecks vom ruhende Beobachter detektiert werden. Daher kann der Beobahter die Kante
AB nun sehen.
c) Zeigen Sie, daß für die Gruppen-Geschwindigkeit und die Breite des Wellenpakets zum
Zeitpunkt t, gilt:
s
2
αt
dω
d2 ω
vg =
, α=
, σx (t) = σx2 +
|k=k0
(4)
dk
σx
dk 2
Benutzen Sie die Entwicklung
ω(k) ≈ ω(k0 ) + (k − k0 )
dω
d2 ω
|k=k0 + (k − k0 )2 2 |k=k0
dk
dk
(5)
d) Finden Sie die Gruppen-Geschwindigkeit und die Breite des Wellenpakets in einem
bewegten Koordinatensystem, das sich in Richtung x mit Geschwindigkeit βc bewegt.
Wie verhält sich die Breite für vg < βc, vg = βc und vg < βc.
Aufgabe 2.3: Klein-Paradoxon für Spin-0 Teilchen (5 Punkte)
Abbildung 1:
a) Zeigen Sie, daß der Beobachter von der klassisch unsichtbaren Kante AB eine Projektion der Länge βb auf die Bewegungsrichtung sieht.
b) Vergleichen Sie dies mit den Beobachtungen für ein ruhendes, aber um α von der
Bewegungsrichtung weggedrehtes Rechteck [siehe Abb.1b)], wobei sin α = β.
Aufgabe 2.2: Gauss’sches Wellenpaket (3 Punkte)
Analog zur nicht-relativistischen Quantenmechanik wird im Folgenden das Problem einer
Potentialstufe für spinlose Teilchen mit der Ladung q und der Masse m mit Hilfe der KleinGordon Gleichung behandelt. Die Ankopplung des elektromagnetischen Feldes erfolgt genauso wie für den Hamilton-Operator der Schrödinger Gleichung mittels minimaler Kopplung:
q
i~∂ µ → i~∂ µ − Aµ
c
mit
A
(k − k0 )2
A(k) = √
exp −
.
2σ 2
2πσ
Zum Zeitpunkt t = 0 hat das Wellenpaket folgende Form
x2
1
ϕ(0, x) = p √ exp − 2 ei(k0 x) ,
2σx
σx π
(1)
(6)
Das elektrische Potential V (x) = q · Φ(x) sei hier definiert durch:
V (x) =
Betrachten Sie ein Gauss’sches Wellenpaket in einer Dimension
Z
ϕ(t, x) = dkA(k)ei(kx−ω(k)t)
mit Aµ = (Φ(x), 0, 0, 0)
0 x<0
V0 x ≥ 0
(I)
(II)
(7)
a) Gib die Klein-Gordon-Gleichung in den Bereichen (I) und (II) an.
b) Mache folgenden Lösungsansatz
(2)
Ψ< (x < 0) = e−iωt eikx + Re−ikx
′
Ψ> (x ≥ 0) = T e−iωt eik x
(3)
und zeige für die Impulse p = ~k, p′ = ~k ′ mit E = ~ω
(8)
p=
p
E 2 /c2 − m2 c2
p
p′ = ± (E − V0 )2 /c2 − m2 c2
(9)
(wobei hier und im Folgenden keine kovariante Schreibweise benutzt wird und außerdem
nur die x-Komponenten der jeweiligen Vektoren betrachtet werden.)
c) Zeige, dass es in diesem Fall drei Bereiche für das Potential V0 gibt (weak, intermediate, strong potential), in denen qualitativ unterschiedliche Lösungen für p′ existieren.
Ermittle diese und vergleiche mit dem nicht-relativistischen Fall.
d) Berechne R und T durch die notwendige Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitung an der Grenze x = 0.
e) Der Reflektionskoeffizient ρ und der Transmissionskoeffizient τ sind gegeben durch die
Ströme in den jeweiligen Bereichen, bezogen auf den Strom jin = p/m der freien,
einlaufenden Lösung der Klein-Gordon Gleichung
ρ = 1 − j< /jin
τ = j> /jin
Berechne beide Koeffizienten in den drei Potentialbereichen und diskutiere das Ergebnis
physikalisch. (Erinnerung: Der Strom in x-Richtung für eine Welle Ψ ist gegeben durch
~
jx = 2mi
(Ψ∗ ∂x Ψ − Ψ∂x Ψ∗ ).)
f) Zeige, dass für eine Klein-Gordon Gleichung
"
2 2 #
2
i
mc
2 2
∂t + qΦ(x) − c ∂x +
Ψ(x, t) =: D(x, t)Ψ(x, t) = 0
~
~
(10)
gilt: D(x, −t)Ψ∗ (x, t) = 0.
Also ist Ψ∗ eine Lösung der Klein-Gordon Gleichung mit umgekehrter Zeitrichtung.
Folgere D ∗ (x, t)Ψ(x, −t) = 0. Interpretiere unter diesem Aspekt das Ergebnis aus e).
Viel Spaß!