6. ¨Ubungsblatt zur Einführung in die Theoretische

1. Dezember 2004
Technische Universität Berlin
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. H. Engel
Dr. Kathy Lüdge und Dipl.-Phys. Philipp Hövel
Sibylle Anderl, Janis Nötzel und Julia Unterhinninghofen
wwwitp.physik.tu-berlin.de/lehre/ETPII
6. Übungsblatt zur Einführung in die Theoretische Physik II
Abgabe: Montag 13.122004 um 12:00 Uhr s.t. in den Briefkasten im Altbau
Klausur: 10. Februar 2005 um 14 Uhr (s.t.) im PN270
Aufgabe 14 (10 Punkte): Polarisation ebener Wellen
1. Transversalität elektromagnetischer Wellen:
Zeige, dass aus den Maxwell-Gleichungen im Vakuum mit ~j = ~0, ρ = 0 für
~ t) = E
~ 0 ei(~k·r−ωt)
E(r,
~ ⊥ ~k, B
~ ⊥ ~k, B
~ ⊥ E.
~
folgt: E
~ 0 legt die Polarisation der Welle fest. Mit E
~ ⊥ ~k (aus 1.)
2. Die Richtung des Realteils von E
~
ist dies bei Ausbreitung in z-Richtung Eo = Eox e~x + Eoy e~y . Bestimme, für welchen Wert
der relativen Phase δ zwischen Eox und Eoy a) linear polarisiertes Licht und b) zirkular
polarisiertes Licht vorliegt.
Aufgabe 15 (10 Punkte): Gauß’sches Wellenpaket
Durch die Superposition ebener Wellen mit verschiedenen Wellenzahlen k und Amplituden û(k)
kann man zu einem festgelegten Zeitpunkt jede beliebige Funktion im Ortsraum per Fouriertransformation generieren. Besonders einfach sind Wellenfunktionen, die die Form einer Gauß-Glocke
haben. Trotz zeitlicher Ausbreitung ändert sich hier nicht die Form sondern nur die Breite und
der Ort des Maximums. Weiterhin können solche Wellenpakete in der Quantenmechanik benutzt
werden, um in einem bestimmten Bereich lokalisierte Teilchen zu beschreiben.
Das eindimensionale Wellenpaket
u(x, t) =
Z
∞
û(k)ei(kx−ω(k)t) dk
−∞
habe zur Zeit t = 0 die From einer Gauß-Glocke
x2
u(x, 0) = Ae− 2σ2 eik0 x .
1. Zeige mit Hilfe der Fourier-Transformation, dass die Gewichtsfunktion û(k) ebenfalls die
Form einer Gauß-Glocke hat,
sich √
auch im k-Raum um eine lokalisierte Welle
R ∞d.h. dass es
2
handelt. Hinweis: Es gilt: −∞ e−(ax+d) dx = aπ für alle a > 0 und d ∈ .
2. Mit bekannter Gewichtsfunktion û(k) kann nun die zeitliche Entwicklung u(x,t) des Wellenpaketes im Ortsraum bestimmt werden. Zeige, dass das Wellenpaket die Form einer GaußGlocke behält. Bestimme weiterhin den Schwerpunkt und die Breite ∆x des Wellenpaketes
im Ortsraum in Abhängigkeit von der Zeit t für
a) ω(k) = vk (elektromagnetische Welle im Vakuum) und
b) ω(k) = a2 k 2 (Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen).
Hinweis: Als Breite der Gauß-Glocke sei der Abstand der beiden Punkte rechts und links vom
Maximum definiert, an denen der Funktionswert |u(x, t)| 2 auf den 1e -ten Teil des Maximums
abgefallen ist.
3. Bestimme für beide Dispersionsbeziehungen das Produkt ∆x · ∆p. Hinweis: Die Breite der
Funktion |û(k)|2 im k-Raum (∆k) ergibt mit der De-Broglie-Beziehung für den Impuls
p = ~k die Impulsunschärfe.