Ubungsblatt 2 - TU Clausthal

Übungen zu: Theoretische Physik III – Quantenmechanik
Gerald Schenk - Prof. Tom Kirchner
http://www2.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html
W 2308
WS 2006/07
Version vom 7. November 2006
Übungsblatt 2
3 (+1) Aufgaben
Aufgabe 1
Compton-Streuung
Ein fundamentaler Prozess in der Quantenmechanik ist die Streuung eines Photons an einem Elektron (Compton Effekt). Dabei trift ein Photon der Energie hν
auf ein ruhendes Elektron und wird unter dem Winkel α (zur ursprünglichen Ausbreitungsrichtung des Photons) mit der verminderten Energie hν 0 gestreut. Die
Energie, die das Photon verloren hat wird auf das Elektron übertragen, welches
mit der Geschwindigkeit v unter dem Winkel β (zur ursprünglichen Ausbreitungsrichtung des Photons) gestreut wird.
1.a) Skizziere die Geometrie.
Im Teilchenbild besitzt das Photon den Impuls p , welcher mit den Welleneigenschaften über die De Broglie Beziehung
p =
hν
h
=
λ
c
verknüpft ist.
1.b) Gib die Energiebilanz vor und nach dem Stoß an.
1.c) Wie lautet der Impulserhaltungssatz zur Comptonstreuung?
1.d) Zeige dass gilt:
1
h
1
=
−
(1 − cosα) (Compton − F ormel)
0
ν
ν
m0 c 2
2.1
Betrachte nun folgende Prozessfolge:
Ein Photon wird an einem Elektron unter dem Winkel α gestreut und erzeugt
ein Elektron-Positron Paar.
α
Abbildung 1: Elektron-Positron Erzeugung
1.e) Zeige dass die Erzeugung des Elektron-Positron Paares, unabhängig von
der Energie des einfallenden Photons, unmöglich wird, falls der Steuwinkel
größer als 60◦ ist.
Aufgabe 2
Fouriertransformation
Es sei gegeben:
f (x) = e−α|x|
mit α > 0
2.a) Zeichne die Funktion.
R
2.b) Berechne f (x) dx.
2.c) Gib die Fouriertransformierte f (k) von f (x)an.
2.d) Zeichne die Fouriertransformierte f (k).
2.2
Aufgabe 3
Wellenpakete I
3.a) Was versteht man unter einer Dispersionsrelation?
Die klassische Wellengleichung in einer Dimension lautet:
∂ 2 φ(x, t)
1
− 2
2
∂x
v
∂ 2 φ(x,t)
∂t2
=0
(1)
3.b) Verwende die komplexwertige Wellenfunktion φ(x, t) = Aei(kx−ωt) als Lösungsansatz für (1) und bestimme daraus die Dispersionsrelation.
3.c) Was versteht man unter dem Superpositionsprinzip?
Betrachtet wird jetzt die Überlagerung einer unendlichen Zahl von Wellen mit
kontinuierlicher Verteilung.
Ψ(x, t) =
Z∞
1
(2π)
3
2
g(k)ei(kx−ω(k)t) dk
(2)
−∞
g(k) sei gegeben als g(k) = |g(k)| eiα(k) , |g(k)| sei gaussverteilt mit dem Schwerpunkt k0 und der Halbwertsbreite
∆k.
Unter der Annahme dass sich die Funktion
∆k
∆k
α(k) im Intervall k0 − 2 , k0 + 2 - in dem g(k) nennenswert von null verschieden ist - hinreichend regulär verhält kann diese für kleines ∆k nach Taylor
entwickelt werden.
3.d) Entwickle α(k) bis zum linearen (2.) Term nach Taylor.
3.e) Gib Ψ(x, 0) unter Verwendung dieser Näherung an.
dα
1
3.f) Skizziere den Realteil des Integranden für x − − dk k=k0 > ∆k
und
1
< ∆k
x − − dα
dk k=k0 auf Ψ(x, 0) ?
3.g) Welche Auswirkung hat die Größe von x − − dα
dk k=k0 3.h) Bei welchem Wert x0 liegt also der Schwerpunkt des Wellenpaketes im Ortsraum?
Als Breite des Wellenpaketes im Ortsraum wird der Abstand zweier Punkte x1
und x2 bezeichnet bei welchen |Ψ(x, 0)| auf einen bestimmten Betrag abgefallen
ist. Die Abnahme von |Ψ(x, 0)| wird wesentlich, falls die Funktion ei(k−k0 )(x−x0 )
gerade
im Integrand
eine Schwingung durchführt während k das Intervall
∆k
∆k
k0 − 2 , k0 + 2 durchläuft.
2.3
3.i) Warum ist dies so?
3.j) Leite unter dieser Annahme eine Beziehung zwischen der Halbwertsbreite
der Funktion |g(k)| und der Breite des Wellenpaketes im Ortsraum her.
3.k) Was bedeutet dies?
Wir haben uns in dieser Aufgabe mit der Verteilung des Wellenpaketes im Ortsraum zum Zeitpunkt t = 0 auseinandergesetzt. Anaolg dazu kann das zeitliche
Verhalten des Paketes bei festgehaltenem Ort untersucht werden.
Zusätzliche Aufgaben
Taylorentwicklung
Taylorentwicklungen werden oft als Näherungsmethode verwendet. Jede hinreichend gutartige Funktion lässt sich in einer (entsprechend kleinen) Umgebung
eines Punktes als Taylorreihe (um diesen Punkt) entwickeln. Bricht man diese
Entwicklung an einer bestimmten Stelle ab (meist nach dem 3. oder 4. Glied) so
erhält man eine oft einfacher handhabbare Näherunga.
Berechne die Taylorentwicklung bis zur 2. Ordnung (3. Glied) der Funktion
f (x, y, z) = ln |x| atan(4y 2 + 3z 2 )
um den Punkt ~r0 = (1, 1, 1)
2.4