Blatt 2 ҬUbungen zur Theoretische Physik II

WS 2016/2017
Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Prof. Dr. Ferdinand Evers, Dr. Daniel Hernangómez
Lars Milz, Phillipp Reck, Matthias Stosiek
http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/evers/courses/qmech.phtml
Blatt 2
“Übungen zur Theoretische Physik II Quantenmechanik für LA und Nanoscience”
Diskussion: 2/3 November 2016
1 Zeitentwicklung von quantenmechanische Wellenpaketen
(10 Punkte)
In dieser Aufgabe werden wir quantenmechanische Wellenpakte konstruieren und deren Verhalten als Funktion der Zeit untersuchen. Analog zur Vorlesung, betrachten wir ein quantenmechanische Wellenpaket als Superposition von ebene Wellen
1
ψ(x, t) =
2π
Z
+∞
ψ(p) ei[px−(p)t]/~ dp/~,
−∞
mit (p) als Dispersionsrelation.
a) Angenommen am Zeitpunkt t = 0 hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung von jeder Komponente eine gaußsche Form, ψ(p) = exp [−σ02 (p − p0 )2 /~2 ]. Betrachten Sie die Dispersionrelation eines nicht relativistischen Teilchen (p) = p2 /(2m) mit der Masse m. Berechnen
Sie einen Ausdruck für das Wellenpaket für Zeiten t > 0 und überprüfen Sie, (i) dass
sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Wellenpaketes ψ(x, t) als Ganzes mit einer Gruppengeschwindigkeit von v0 = p0 /m bewegt und (ii) seine charakteristische Breite verbreitet
sich als
~2 t2
σ 2 (t) = σ02 +
.
4m2 σ02
Diskutieren Sie ihre Ergebnisse.
b) Wiederholen Sie die Berechnung unter der Annahme, dass wir ein relativistisches Teilchen
betrachten mit Dispersionsrelation (p) = pc. Diskutieren Sie ihre Ergebnisse und vergleichen Sie diesen mit den Ergebnissen aus a).
c) Allgemeiner Fall
Betrachten Sie die Propagation des Wellenpaketes unter denselben Anfangsbedingung und
nutzen Sie die allgemeine Sattelpunktsnäherung (sationary phase approximation). Entwicklen Sie bis zur zweiten Ordnung in der Nähe von p0 um zu zeigen, dass
(i) das Wellenpaket sich als Ganzes mit der Gruppengeschwindigkeit v0 = 0 (p0 ) bewegt und
(ii) die charakteristische Breite verbreitet sich als
σ 2 (t) = σ02 +
~2 [00 (p0 )]2 t2
.
4σ02
Diskutieren Sie ihre Ergebnisse. Was ist der fundamentale Grund warum quantenmechanische Wellenpakete sich mit der Zeit verbreitern?
Weitere Literatur: F. Schwabl, Quantenmechanik (QM I), Sec. 2.10.
2 Heisenbergsche Unschärferelation für freie gaußsche Wellenpakete (10 Punkte)
Im Jahr 1927 entdeckte der deutsche Physiker Werner Heisenberg (1901 − 1976), dass es eine
fundamentale Limitierung der Genauigkeit der gleichzeitigen Messung gewisser Paare von
physikalischen Observablen eines quantenmechanischen Systems gibt. Das ist die sogenannte
Heisenbergsche Unschärferelation. Wenn das Paar von (komplementären) Variablen der Ort
x und der Impuls p ist, dann nimmt die Ungleichung die folgende Form an
∆xt ∆p ≥
~
,
2
wobei ∆xt (∆p) die Standardabweichung des Ortes (bzw. Impulses) zur Zeit t ist. Beide
können berechnet werden durch (∆xt )2 = hx2 it − hxi2t (bzw. (∆p)2 = hp2 i − hpi2 ). Der
Mittelwert des n-ten Moments der Ort (bzw. Impuls) für das Wellenpaket ψ(x, t) [bzw.
ψ(p)] ist gegeben durch
Z
hxn it =
und
1
hp i =
2π~
n
dx xn |ψ(x, t)|2 ,
Z
dp pn |ψ(p)|2 .
a) Betrachten Sie ein Wellenpaket zur Zeit t = 0 mit einer gaußschen Form
x2
p0 x
ψ(x, 0) = A exp − 2 + i
.
2σ
~
[1]
Normieren Sie das Wellenpaket und finden Sie einen Ausdruck für die Konstante A. Leiten
Sie eine Beziehung her für ψ(p) durch ψ(x, 0). Hinweis: ψ(p) ist die Fourier Transformation
von ψ(x, 0), Sie sollten daher nochmal die Übung 3 von Blatt 0 angucken.
b) Überprfen Sie, dass das gaußsche Wellenpaket aus a) ein Wellenpaket mit minimaler Messunsicherheit ist, für das die Unschärferelation zur Gleichung wird
∆xt=0 ∆p = ~/2.
c) Entwickeln Sie Gleichung [1] in der Zeit wie in Aufgabe 1 und zeigen Sie das die Unschärferelation auch für ∀t > 0 erfüllt ist:
s
2
~
~t
~
∆xt ∆p =
1+
> .
2
mσ
2
d) Wir haben angenommen das der Impuls nicht von der Zeit abhängt. Warum? Unter welchen
Gegebenheiten würden sie erwarten, dass diese Observable zeitabhängig wird?
Nützliches Integral
Z
+∞
−∞
dx x2 exp −αx
2
1
=
2
r
π
α3