Arbeitsblatt 4 MATLAB

Arbeitsblatt 4 MATLAB
Abgabe: 30.11.13
Methode von Simpson als Beschleunigung der Trapezmethode
Gauss’sche Quadratur Formeln
Elliptische Integrale erster Art

Exakte Berechnung der Schwingungsdauer des mathematischen Pendels (Fadenpendel)

l
T  4

g
d
2

0
1  k 2 sin 2 ( )
,

wobei k  sin  0  und  0  Auslenkungswinkel zur Zeit t  0 .
 2
Für den Integrationsfehler bei der Methode von Simpson gilt:
b

a
b  a   M
ba 4
( 4)
f ( x) dx  S (h)  
  h  max f ( x)  4
n 180
 180 
a  x b
5
wobei M  max f ( 4) ( x) .
a  x b
Bestimmen Sie M mit Hilfe von Maple.

Numerische Bestimmung von T für  0   (0)  
(max. Auslenkung)
3
Verifizieren Sie die Fehlerschranke für die Methode von Simpson.
(Das mathematische Pendel mit der Länge l und der Masse m schwingt für kleine
Auslenkungen  nahezu harmonisch, wobei die Schwingungsdauer T mit der
Näherungsgleichung T  2 
l
g
bestimmt werden kann.)
 Beispiel für 2-und 4-Punkte Formeln (vgl. Arbeitsblatt 3):
Um die Genauigkeit zu erhöhen, soll nun das Intervall 1, 2 in zwei bzw. drei Teilintervalle
unterteilt werden und für jedes dieser Teilintervalle die gegebene n-Punkte Gauss Formel
verwendet werden. Vergleichen Sie die erhaltenen Näherungen.

Bestimmen Sie eine Approximation des folgenden Integrals mit der 5-Punkte Gauss
Formel.

1
I 
dx
2
0 1  cos ( x )
Knoten und Gewichte der Gauss’schen Quadratur:
n5
x1  0.9061798459
w1  0.2369268851
x 2  0.5384693101
w2  0.4786286705
x3  0
w3  0.5688888889
a) Für das Intervall 0,   .
b) Das Intervall 0,   soll in drei gleich grosse Teilintervalle zerlegt werden. Benützen Sie
für jedes dieser Teilintervalle die gegebene 5-Punkte Gauss Formel.
c) Bestimmen Sie den exakten Wert von I , mit Hilfe von MAPLE.
d) Geben Sie für a) und b) die absoluten sowie die relativen Fehler an.
Arbeitsblatt_4_MATLAB_ST12a_1314.doc/ungr/24.10.2013