Theorie der Teilchen und Felder 1

Prof. Dr. J. Wambach
Institut für Kernphysik
Theorie der Teilchen und Felder 1
WS 2005/2006
11. Übungsblatt
18. Januar 2006
Präsenzaufgaben:
Aufgabe P19:
[Klassischer Elektronenradius] Berechnen Sie die elektrische Feldenergie einer homogen
geladenen Kugel mit einer Gesamtladung e. Bestimmen Sie den Radius, für den die Feldenergie genau gleich der Ruheenergie me c2 des Elektrons ist. Diesen Radius, den man aus
dem Bild des Elektrons als homogen geladene Kugel erhält, bezeichnet man als “klassischen
Elektronenradius”. Hinweis: e = 1.602 × 10−19 C, me = 9.1 × 10−31 kg, 0 = 8.854 × 10−12
As(Vm)−1 .
Aufgabe P20:
[Green’scher Satz]
1. Die Felder G(~r), φ(~r) seien zwei skalare, stetig differenzierbare Felder. Schreiben Sie
~ · (∇G)
~
~ · A,
~ wobei das
den Ausdruck (∇φ)
+ φ∆G als Divergenz eines Vektorfeldes, ∇
~
~
Feld A den Operator ∇ weiterhin enthalten darf.
R
~ · A)
~ an! Vertauschen Sie
2. Wenden Sie den Gauss’schen Satz auf das Integral V d3 x(∇
nun G und φ in diesem Ausdruck und bilden Sie die Differenz beider Gleichungen.
Was erhalten Sie?
3. Nehmen Sie jetzt an, G(~r) erfülle die Beziehung
~ · ∇G(~
~ r) = −4πδ (3) (~r).
∆G(~r) = ∇
Welches Ergebnis erhalten Sie dann mit dem obigen Integralsatz? Wie lautet die
Funktion G(~r)?
4. Was ändert sich, wenn Sie unter der gleichen Annahme das Argument der Funktion G
um einen festen Vektor ~r0 verschieben? (Wenn also gilt ∆r G(~r − r~0 ) = −4πδ (3) (~r − r~0 ).)
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Hausaufgaben:
Aufgabe H33:
[Feldstärke mit dem Gauss’schen Satz] Benutzen Sie den Gauss’schen Satz für das
~ ·E
~ = 1 ρ, und
elektrische Feld und die erste Maxwell-Gleichung für das elektrische Feld ∇
0
bestimmen Sie die elektrischen Feldstärken für die folgenden Ladungsverteilungen:
1. Eine Punktladung q.
2. Homogen geladener, unendlich langer, dünner Draht mit Ladungsdichte pro Längeneinheit λ.
3. Homogen geladener, unendlich langer Zylinder mit Radius R0 und Ladungsdichte ρ0 .
Bestimmen Sie hier die Feldstärke ausserhalb und innerhalb des Zylinders.
Aufgabe H34:
[Ladungsverteilung eines Wasserstoffatoms] Das (zeitgemittelte) Potential eines neutralen Wasserstoffatoms ist
αr 1 q
exp(−αr) 1 +
Φ(~r) =
4π0 r
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wobei r = |~r|. Berechnen Sie die Ladungsverteilung ρ(~r) und interpretieren Sie das Ergebnis. Welche Gesamtladung ist im Raum vorhanden? Hinweise: Benutzen Sie den LaplaceOperator in Kugelkoordinaten, und beachten Sie den besonderen Beitrag des singulären
Terms!
Aufgabe H35:
[Verteilung mit δ-Distribution] Berechnen Sie das Potential der Ladungsverteilung, die
~ r) mit konstantem Vektor p~. Verwenden Sie die
formal gegeben ist durch ρ(~r) = p~ · ∇δ(~
allgemeine Darstellungsformel für die Lösung des Ganzraumproblems
Z
1
ρ(~r0 )
Φ(~r) =
d3 r 0
.
4π0
|~r − ~r0 |
~ r) aufzulösen. Berechnen Sie dann das
Integrieren Sie einmal partiell, um den Ausdruck ∇δ(~
elektrische Feld. Wie nennt man die Ladungsanordnung, die ein solches Feld erzeugt?
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