8. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I

Prof. Dr. J. Krug
Dipl.-Phys. M. Ivanov
Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - SS 2009
8. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I
Abgabe: Dienstag, 23. Juni, in der Vorlesung
Termine: 2. Teilklausur am 18.7., 10:00 in HS II
Internetseite: http://www.thp.uni-koeln.de/krug
Beratungstutorium: dienstags, 9:30 Uhr, Bibliothek der Kernphysik
1. Elektrischer Dipol
(2+3+2+3+4=14 Punkte)
Wir betrachten zwei Punktladungen ±q mit entgegengesetzten Vorzeichen, die im Abstand a
symmetrisch um den Ursprung auf der z-Achse liegen.
a) Fertigen Sie eine Skizze des Problems.
b) Geben Sie einen Ausdruck für die Ladungsdichte ρ(~r) mit Hilfe der Definition aus
der Vorlesung für diskrete Ladungsverteilung an, d.h. unter Verwendung von DeltaFunktionen. Wie groß ist die Gesamtladung?
c) Berechnen Sie das Dipolmoment d~ der Ladungsverteilung aus b) und der Definition
d~ =
Z
d3 r ~rρ(~r).
d) Wir interessieren uns für das Verhalten des Dipolfeldes im Fernfeld |~r| ≫ a. Dazu betrachten wir die Ladungsverteilung aus b) im Grenzübergang a → 0, q → ∞ mit qa =
const. Zeigen Sie, daß dieser Grenzübergang auf den Ausdruck
ρ(~r) = −d~ · ∇δ(~r)
∂
.
führt. Beachten Sie, daß für unsere Wahl von Koordinaten d~ · ∇ = d ∂z
e) Berechnen Sie nun, mit Hilfe des in der Vorlesung angegebenen allgemeinen Ausdrucks
und einer partiellen Integration, das Potential Φ(~r) für die Ladungsdichte aus d). Wie
lautet die Poissongleichung für dieses Problem?
2. Homogen geladener Kreiszylinder
(2+2+3+6+2=15 Punkte)
Ein homogen geladener und unendlich langer Kreiszylinder (Radius R, Länge L, Ladung/Länge=q/L,
L → ∞) sei gegeben. Behandeln Sie das Problem in Zylinderkoordinaten (r, z, ϕ).
a) Fertigen Sie eine Skizze des Problems.
b) Bestimmen Sie die homogene Ladungsdichte im Bereich des Zylinders.
c) Begründen Sie, wieso nur die radiale Komponente des elektrischen Feldes nicht verschwindet.
d) Bestimmen Sie das elektrische Feld mit Hilfe des Gauß’schen Satzes im ganzen Raum.
e) Bestimmen Sie die Energiedichte des elektrischen Feldes.
3. Homogen geladene Kugelschale
(6+4+2=12 Punkte)
Eine Kugelschale (der Dicke d, und mit äusserem Radius R) ist homogen geladen (Gesamtladung
Q). Verwenden Sie Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ).
a) Bestimmen Sie das elektrische Feld mit Hilfe des Gauß’schen Satzes im ganzen Raum.
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b) Führen Sie nun den Übergang zu einer infinitesimal dünnen Schale durch (d → 0 bei
festem Q) und berechnen Sie die elektrostatische Energie. Vergleichen Sie das Ergebnis
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mit dem Ergebnis aus der Vorlesung für die homogen geladene Vollkugel (V = 53 QR ).
c) Erklären Sie anschaulich, warum die Energie mit abnehmendem d kleiner wird und für
d → 0 ihren kleinstmöglichen Wert annimmt.
4. Ping-Pong mit den Antipoden(4+5=9 Punkte)
Stellen Sie sich vor, dass von einem alten Bergischen Grubenschacht aus ein Loch durch den
Erdmittelpunkt bis nach Neuseeland gegraben wird. Sie werfen einen Ball in das Loch. Was
passiert?
a) Bestimmen Sie zunächst das Gravitationsfeld im Inneren einer homogenen Kugel mit
Masse M und Radius R. Wegen der Rotationssymmetrie der Massenverteilung muss das
Feld überall radial nach innen zeigen, ~g(~r) = g(r)~r/r. Die Funktion g(r) kann mittels
des Gauß’schen Satzes aus der in einer Kugel vom Radius r < R enthaltenen Masse
berechnet werden.
Hinweis: Benutzen Sie die Analogie zwischen Coulomb-Gesetz und Gravitationsgesetz!
b) Zeigen Sie, dass der Ball (unter Vernachlässigung der Luftreibung) eine harmonische
Schwingung um den Erdmittelpunkt ausführt, und berechnen Sie die Periode T , nach
der er an die Oberfläche zurückkehrt [die mittlere Dichte des Erdkörpers beträgt 5.5 ×
103 kg/m3 ].
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