Elektrodynamik für Bachelor plus Zentralübung 2

Elektrodynamik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Zentralübung 2
6. Mai 2016
Aufgabe 1: Homogen geladene Kugel
Gegeben sei die Ladungsverteilung einer homogen geladenen Kugel
(
ρ0 = const (r ≤ R)
ρ(~r) = ρ(r) =
0
(r > R)
Berechnen Sie das Potential über direkte Auswertung des Integrals
Z
1
1
Φ(~r) =
d3 r0 ρ(~r0 )
.
4π0
|~r − ~r0 |
(1)
(2)
Hinweis: Man wähle das Koordinatensystem so dass der Beobachtungspunkt ~r k ~ez . Dann ist der
0
Abstand von
(r0 , θ0 , ϕ0 ) hat, gegeben durch
√ ~r zu einem beliebigen Punkt ~r , der Kugelkoordinaten
0
0
2
02
0
0
|~r − ~r | = r + r − 2rr cos θ . Dann lässt sich das Integral über θ ausführen.
Aufgabe 2: Elektrostatische Energie
(Staatsexamen Herbst 2014)
Eine Kugelschale mit innerem Radius Ri und äußerem Radius Ra sei homogen geladen. Die Gesamtladung sei q.
(a) Geben Sie die konstante Ladungsdichte ρ als Funktion der beiden Radien der Kugelschale an.
~ r) im gesamten Raum.
(b) Berechnen Sie das elektrische Feld E(~
~ 2 . Berechnen Sie die Gesamtenergie
(c) Die elektrostatische Energiedichte ist bekanntlich u = 12 0 |E|
U (Ri , Ra ) als Funktion der beiden Radien.
(d) Welchen Wert hat die Gesamtenergie für eine infinitesimal dünne Kugelschale (Ri → Ra ) und
welchen für eine Vollkugel (Ri → 0)?
(e) Diskutieren Sie den Grenzfall einer Punktladung, 0 < Ri < Ra → 0.
Die geladene Kugelschale sei nun metallisch.
(f) Berechnen Sie die Ladungsdichte.
(g) Berechnen Sie die Energie U (Ri , Ra ).
1
Aufgabe 3: Linienförmige Ladungsverteilung und Metalloberfläche
(Staatsexamen Herbst 2005)
Es soll das elektrische Potential untersucht werden, das von einer in z-Richtung linearen Ladungsverteilung ρ(x, y, z) = ρ1 δ(x−a)δ(y) erzeugt wird. Hierbei ist ρ1 eine konstante Ladung pro Länge. Es soll
ferner die Möglichkeit vorgesehen sein, eine ideal leitende, geerdete Metallplatte in der (y, z)-Ebene
anzubringen.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß, dass sich das Potential in Abwesenheit der Metallplatte
in der Form
Φ(s) = −
ρ1
ln(s) + Φ0
2π0
(3)
schreiben lässt, wobei s der senkrechte Abstand von der linearen Ladungsverteilung ist.
Hinweis: In Zylinderkoordinaten (s, ϕ, z) gilt
~ = ∂Φ ~es + 1 ∂Φ ~eϕ + ∂Φ ~ez .
∇Φ
∂s
r ∂ϕ
∂z
(4)
(b) Es werde nun eine unendlich ausgedehnte, geerdete Metallplatte in der (y, z)- Ebene angebracht.
Welche Randbedingungen muss das Potential bei x = 0 erfüllen? Bestimmen Sie nun mit Hilfe
der Bildladungsmethode das elektrische Potential im Halbraum x > 0.
(c) Skizzieren Sie qualitativ die elektrischen Feldlinien in der (x, y)-Ebene für x > 0. In welche
Richtung zeigt das elektrische Feld an der Metallplatte?
Bei Fragen:
[email protected]
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