Universität Wien Fakultät für Physik Prof. Dr. C. N. Likos

Universität Wien
Fakultät für Physik
Prof. Dr. C. N. Likos
4. Aufgaben zur Vorlesung “Theoretische Physik 3: Elektrodynamik”
Wintersemester 2012/2013
Aufgabe 4.1:
Betrachten Sie eine unendlich dünne Kugelschale des Radius R, die eine konstante Oberflächenladungsdichte σ hat und deshalb die Gesamtladung Q = 4πR2 σ trägt.
~ r) im gesamten Raum zu
a) Benutzen Sie das Gauß’sche Gesetz um das elektrische Feld E(~
berechnen. Bestimmen Sie dann daraus das elektrostatische Potential Φ(~r).
b) Benutzen Sie die Laplace-Gleichung für Φ(~r) mit geeigneten Randbedingungen auf der
Oberfläche der Kugelschale um Φ(~r) erneut zu berechnen. Überprüfen Sie, dass Sie das
gleiche Ergebnis wie in (a) erhalten.
Aufgabe 4.2:
Für eine endliche, kugelsymmetrische Ladungsverteilung lässt sich das elektrostatische Potential
berechnen gemäß:
Z ∞
~ · d~r
E
Φ(~r) =
r
Weisen Sie nach, dass der folgende Ausdruck äquivalent ist:
Φ(~r) = 4π
Z
∞
r
dr′
r′ 2
Z
r′
2
ρ(r′′ )r′′ dr′′
0
Teilen Sie anschließend die Ladungsverteilung in dünne Schalen, von denen jede in ihrem Inneren
lediglich einen konstanten Beitrag zum Potential liefert. Bestimmen Sie ausgehend davon einen
Ausdruck für Φ(~r), der nur noch ein eindimensionales Integral enthält.
Aufgabe 4.3:
Zeigen Sie, dass der Mittelwert des skalaren Potentials über eine Kugeloberfläche gleich dem
Potential im Kugelmittelpunkt ist, vorausgesetzt, dass sich keine Ladung innerhalb der Kugel
befindet. Benutzen Sie dieses Ergebnis um zu zeigen, dass eine Ladung in einem elektrischen
Feld nicht im mechanischen Gleichgewicht gehalten werden kann (Earnshaw’s Theorem).
Aufgabe 4.4:
Ein dünner Draht liegt entlang der zAchse von z = −a bis z = a. Der Draht
habe die Linienladungsdichte λ. Berechnen Sie Φ(~r) in allen Punkten auf der xAchse