Übungsblatt 3

Theoretische Physik Ib (Elektrodynamik)
M. Göckeler, WS 2016/17
Blatt 3 (8. – 9.11.2016)
Aufg. 1
a) Betrachten Sie eine homogen geladene Kugel vom Radius R mit der Ladungsdichte ρ. Berechnen Sie mit Hilfe der Integralform des Gauß’schen Gesetzes
das elektrische Feld innerhalb und außerhalb der Kugel.
b) Nun enthalte die Kugel aus Teil a) einen kugelförmigen, ladungsfreien Hohlraum mit Radius R1 , dessen Mittelpunkt um den Vektor ~a gegenüber dem
Mittelpunkt der großen Kugel verschoben sei (|~a| + R1 < R). Berechnen Sie
das elektrische Feld in diesem Hohlraum.
Hinweis: Benutzen Sie das Superpositionsprinzip.
R
~a
R1
Aufg. 2
~ das von einer Punktladung q am Ort ~a und
Betrachten Sie das elektrische Feld E,
~
einer Punktladung −q am Ort −~a erzeugt wird. Entwickeln Sie den Ausdruck für E
für kleine Werte von |~a| bis zur ersten Ordnung in ~a. Welches Resultat ergibt sich
im Limes ~a → ~0 bei festgehaltenem p~ = 2q~a ? Wie heißt diese Ladungsverteilung?
1
Aufg. 3
a) Berechnen Sie das elektrische Dipolmoment der Ladungsdichte
2
2
2
cze−(x +y )/` für − a ≤ z ≤ a ,
ρ(x, y, z) =
0
sonst
mit Konstanten c, a und `.
b) Unter welcher Bedingung ist das Dipolmoment einer gegebenen Ladungsverteilung unabhängig von der Wahl des Koordinatenursprungs?
Aufg. 4
Ausgehend von dem elektrischen Potential
n
X
1
qi
,
Φ(~r ) =
4π0 |~r − ~ri0 |
i=1
das von n Punktladungen qi an Orten ~ri0 erzeugt wird, ist in der Vorlesung das Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung mit der Ladungsdichte ρ(~r 0 ) hergeleitet
worden:
Z
ρ(~r 0 ) 1
Φ(~r ) = d3 r0
.
4π0 |~r − ~r 0 |
a) Zeigen Sie in analoger Weise, daß das elektrische Potential einer Linienladung,
die mit der Dichte Ladung/Länge = λ(t) längs einer endlichen Kurve ~r(t)
(0 ≤ t ≤ `) verteilt ist, durch
Z `
1
λ(t)dt
Φ(~r ) =
4π0 0 |~r − ~r(t)|
gegeben ist, wenn die Kurve durch die Bogenlänge t parametrisiert ist.
b) Berechnen Sie für eine homogene Linienladung (Ladung/Länge = λ), die sich
auf der z-Achse von z = −L bis z = L erstreckt, das elektrische Potential.
Hinweis:
Z
√
dx
√
= ln(x + a + x2 + 2ax + b) .
x2 + 2ax + b
c) Begründen Sie, daß in diesem Fall Φ(x, y, z) = Φ(x, y, −z) gilt, und berechnen
Sie das elektrische Feld in der Ebene z = 0.
d) Was ergibt sich im Grenzfall L → ∞ für das elektrische Feld in der Ebene
z = 0?
2