1. Test aus Elektrodynamik I

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MATRIKELNUMMER:
1. Test aus Elektrodynamik I
Beispiel 1) Leiten Sie, unter Verwendung des allgemeinen Ausdrucks für
das elektrische Feld Ei(X k ) in Abhängigkeit von der Ladungsdichte p(x k ),
den Ausdruck für das elektrostatische Potential V(x k ) in Abhängigkeit von
der Ladungsdichte her.
30 Punkte
Beispiel 2) Zeigen Sie unter Verwendung der Tatsache, daß das elektrische
Feld Ei(X k ) ein Gradientenfeld ist, die Unabhängigkeit Transportintegrals
vom gewählten Weg, d.h.
bi
Yl
r<
wobei 1'1,2
=
ai
{X1,2(t) I 0 ~ t ~ 1, Xi,2(O) = ai , x1,2(1)
= bi }
20 Punkte
Beispiel 3) Ein unendlich langer Zylinder mit dem Radius a ist in seinem
Inneren homogen geladen, die Gesamtladung des Zylinders pro Längeneinheit
sei Q. Berechnen Sie das elektrostatische Potential V(x k ) und das elektrostatische Feld Ei(X k ) im gesamten Raum sowohl
(a) mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes
als auch
(b) über die Poissongleichung (etwaige Stetigkeitsannahmen
begründen) .
Normieren Sie das Potential so, dass es am Zylinderrand verschwindet.
In Zylinderkoordinaten gilt:
30 Punkte
Beispiel 4) Eine unendlich dünne Kreisscheibe (Radius b ) sei homogen mit
der Flächenladungsdichte ao belegt.
a) Berechnen Sie das Potential V(x k ) entlang der z-Achse.
b) Berechnen Sie die Gesamtladung, das Dipolmoment und den Quadrupoltensor dieser Ladungsverteilung bezüglich des Mittelpunkts der Scheibe.
c) Geben Sie die Multipolentwicklung des Potentials bis zum Quadrupolterm
(falls existent) an.
20 Punkte
N AME:
MATRIKELNUMMER:
2. Test aus Elektrodynamik I
Beispiel 1) Zeigen Sie, daß der Biot-Savart'sche Ausdruck für das Magnetfeld Bi(x m) in Abhängigkeit von der Stromdichte Ji(X m), die 3. Maxwellgleichung aiBi(X m) = 0 erfüllt.
30 Punkte
Beispiel 2) Leiten Sie für eine ebene elektromagnetische Welle
Ei(x m, t)
Bi (xm, t) =
E~
cos(kmxm - wt)
B~ cos(kmxm - wt)
unter Verwendung der (quellfreien) Maxwellgleichungen und der Dispersionsrelation w = clk i I die geometrischen Beziehungen zwischen E~ , B~ und k i
her.
20 Punkte
Beispiel 3) Ein dünner gerader Leiter LI und ein dünner kreisförmiger Leiter
L 2 , welche beide in der xy-Ebene liegen, werden von zeitlich.konstanten Strömen 11 (entlang der positiven y-Achse) bzw. 12 (entgegen dem Uhrzeigersinn)
durchflossen. LI sei parallel zur y-Achse und schneide die x-Achse bei x = d,
der Mittelpunkt von L 2 befinde sich im Ursprung und der Radius sei a, mit
d > a.
Berechnen Sie
a) das Magnetfeld BI des Leiters LI (Symmetrieüberlegungen begründen)
b) die auf die Leiter wirkenden Kräfte. Wann sind diese abstoßend, wann
anziehend?
2w
cos <pd<p = 211' . ß - # 2 - 0/2
Jo ß - O/cos<p 0/
Jß2 - 0/2
r
r2w
sin <pd<p
Jo ß -
=0
0/ COS <p
30 Punkte
Beispiel 4) Zwei isolierte zur xy-Ebene parallele leitende quadratische Platt en (Seitenlänge L, Abstand d « L) tragen die Ladung +Q bei z = d
und -Q bei z = O. Der Zwischenraum sei mit zwei nebeneinanderliegenden
Dielektrika gefüllt, die sich jeweils von 0 ~ x < ~ (Dielektrizitätskonstante
Cl) und ~ < x ~ L (Dielektrizitätskonstante C2) erstrecken.
Berechnen Sie
a) das elektrische Verschiebungsfeld 15, das elektrische Feld E , die freien
und die gebundenen Flächenladungen
b) die Kapazität C dieser Anordnung
20 Punkte