3. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik

Prof. Dr. Thomas Hoch
3. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik
3.1
Geladene Kugeloberfläche
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius R sei homogen geladen. Die Gesamtladung sei Q.
a) Berechnen Sie mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes in Integralform das elektrische Feld der
Kugel an einer beliebigen Stelle. Nutzen Sie dazu die Symmetrie der Ladungsverteilung aus.
b) Berechnen Sie das elektrische Potential, indem Sie das elektrische Feld integrieren (Linienintegral).
c) Berechnen Sie die elektrostatische Energie der Ladungsverteilung auf zwei verschiedene
Arten: 1. durch Verwendung der Ladungsdichte und des Potentials, 2. durch Verwendung des
elektrischen Feldes.
d) Geht man von der (physikalisch falschen) Annahme aus, dass die Ladung eines Elektrons
auf einer Kugeloberfläche lokalisiert ist, so kann man den Radius der Kugel dadurch berechnen, dass man die elektrostatische Energie gleich der Ruheenergie des Elektrons (me c2 )
setzt. Berechnen Sie diesen Radius. Verwenden Sie dazu am besten SI-Einheiten (das ergibt
bei der Energie einen Faktor 1/(4πe0 )). Das doppelte dieses Radius’ wird als „Klassischer
Elektronenradius“ bezeichnet.
3.2
Geladenes Kugelvolumen
Das Volumen einer Kugel mit Radius R sei homogen geladen. Die Gesamtladung sei Q. Lösen
Sie die folgenden Punkte analog zu Aufgabe 3.1.
a) Berechnen Sie das elektrische Feld der Kugel an einer beliebigen Stelle.
b) Berechnen Sie aus dem elektrischen Feld das elektrische Potential.
c) Berechnen Sie die elektrostatische Energie.
3.3
Die δ-Distribution
a) Die Heavisidesche Sprungfunktion Θ( x ), auch Θ-Funktion genannt, ist definiert durch:
(
0 falls x < 0
Θ( x ) =
(1)
1 falls x ≥ 0
Zeigen Sie, dass im Sinne der Distributionen, d. h. bei Anwendung auf eine Testfunktion, gilt:
Θ0 ( x ) = δ( x )
5
(2)
Die folgenden Identitäten sind ebenfalls im Sinne der Distributionen aufzufassen.
b) Zeigen Sie
1
δ( x )
| a|
δ( ax ) =
(3)
Dabei ist a 6= 0 eine reelle Konstante. Sie können unter dem Integral für δ( x ) die für normale
Funktionen gültigen Rechenregeln verwenden.
c) Sei g( x ) eine stetig differenzierbare, streng monoton steigende oder fallende Funktion (also
∀ x ∈ R : g0 ( x ) > 0 oder ∀ x ∈ R : g0 ( x ) < 0) mit g( x0 ) = 0. Zeigen Sie
δ( g( x )) =
1
| g0 ( x
0 )|
δ ( x − x0 )
(4)
d) Sei g( x ) eine stetig differenzierbare Funktion mit n einfachen Nullstellen x1 , ... xn , d. h.
g( xi ) = 0 und g0 ( xi ) 6= 0. Zeigen Sie
n
δ( g( x )) =
1
∑ | g0 (xi )| δ(x − xi )
(5)
i =1
e) Die Funktionen δn ( x ) seien wie folgt definiert:
δn ( x ) :=
1
n
,
·
π 1 + n2 x 2
n∈N
(6)
Zeigen Sie
lim δn ( x ) = δ( x )
n→∞
6
(7)