Studiengang: PT/LOT Semester: SS 08 Analysis II Serie

Studiengang: PT/LOT
Semester: SS 08
Analysis II
Serie: 3
Thema: Mehrfachintegrale
1. Aufgabe
Skizzieren Sie den Integrationsbereich D und berechnen Sie das Doppelintegral
ZZ
f (x; y) dA
D
a)
b)
c)
x2
+ y 2,
f (x; y) =
f (x; y) = x ¡ y,
f (x; y) = x + y
D begrenzt durch: y = x; x = 1; y = 0
D begrenzt durch: y = x; y = 2 ¡ x; y = 0
D begrenzt durch: y = x; y = x ¡ 2; y = 0;
y =1
2. Aufgabe
Skizzieren Sie den Integrationsbereich
p 2 und vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge
2
1+
Z1 Zx
Z1
Z1¡y
a)
f (x; y) dydx b)
f (x; y) dxdy
p
0 0
0
2
1¡
1¡y
3. Aufgabe
Überprüfen Sie durch Berechnung:
Dreht man einen ebenen
Bereich um den Winkel ';
so werden die
Schwerpunktkoordinaten
ebenfalls um den Winkel '
gedreht.
Hinweis:
Eine Drehung entspricht einer Variablentransformation der Form
µ ¶ µ
¶µ ¶
x
cos ' ¡sin '
u
=
y
sin ' cos '
v
4. Aufgabe
Berechnen Sie den Schwerpunkt der von der Kardioide r(') = 1 + cos ';
begrenzten Fläche
0 · ' < 2¼
5. Aufgabe
Eine kreisförmig gebogene Leiterschleife
vom Radius R wird senkrecht von einem
Magnetfeld durch‡utet, dessen
magnetische Flußdichte B nach der
Gleichung
2
B (r) = B0 ¢ e¡r ; r ¸ 0
in radialer Richtung nach außen hin
abnimmt. Bestimmen Sie den
magnetischen Fluß © durch die
Leiterschleife
mittels des Doppelintegrals
RR
© = BdA
D
6. Aufgabe
Berechnen
Sie folgendes Doppelintergral
ZZ
¡ 2
¢
x ¡ y 2 dxdy;
D
wobei D den skizzierten Kreissektor mit
dem Radius R darstellt.
7. Aufgabe
Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der von den folgenden Flächen begrenzt wird:
a) x = 0 , x = 4 , y = 0 , y = x + 2 , z = 2x + y + 1; z = 4x + 2y + 3
b) z = 0 , z = 3 ¡ x ¡ y , x2 + y 2 = 1
8. Aufgabe
Berechnen Sie
Z ZZ
D
¡
¢
x2 + y 2 + z2 dxdydz;
wobei das Gebiet D den Durchschnitt des Kreiskegels x2 + y 2 · z2 und
der Halbkugel x2 + y 2 + z 2 · R2 (z ¸ 0) darstellt.
9. Aufgabe
Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer massiven, homogenen Kugel mit dem Radius R
bezüglich einer Drehachse, die durch den Mittelpunkt geht.
Lösungen:
1
2
a)
1
3
a)
Z1 Z1
0
b)
p
2
3
c) 4
f (x; y) dxdy
b)
y
0
4) xS = 5=6;
7)a)
Z2
424
3
yS = 0
b) 3¼
p
2x¡x
Z 2
f (x; y) dydx
0
2
5) © = B0 ¼(1 ¡ e¡R )
p
2¡ 2 5
8)
¼R
5
6)¡
R4
4
2
9) I = mges R2
5