9. ¨Ubungsblatt - Mathematik 2 für BI

9. Übungsblatt - Mathematik 2 für BI - WS 2011
57. Sei f (x) = 1 und D das von den drei Geraden x = 0, 2y + x = 2 und x + y = 2 begrenzte
Dreieck.
(a) Skizzieren Sie D.
!!
!!
(b) Berechenen Sie
f
(x,
y)dxdy
sowie
f (x, y)dydx (d.h. berechnen Sie zweimal
D
D
das Integral mit unterschiedlicher Integrationsreihenfolge).
!!
(c) Wie läßt sich
f (x, y)dxdy geometrisch interpretieren?
D
58. Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge und berechnen Sie:
(a)
!4 !2
0
(b)
√
sin(πx3 )dxdy
y
!2 !x2 x
1 1
y
dydx
Skizzieren Sie jeweils den Integrationsbereich in der x − y Ebene.
59. Berechnen Sie durch geeignete Integration
(a) den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius R
(b) das Volumen einer Kugel mit Radius R
"
60. (a) Berechnen Sie für das Vektorfeld v = (yz, xz, xy) das Kurvenintegral C v dx wobei C
die Kurve von (0, 0, 0) nach (1, 1, 1) ist, welche sich aus folgenden drei Geradenstücken
C1 , C2 und C3 zusammensetzt:
C1 : Die Strecke von (0, 0, 0) nach (1, 0, 0),
C2 : Die Strecke von (1, 0, 0) nach (1, 1, 0),
C3 : Die Strecke von (1, 1, 0) nach (1, 1, 1).
(b) Ist v ein Potentialfeld?
(c) Was ist gemäß (b) der Wert des Kurvenintegral
bindung von (0, 0, 0) nach (1, 1, 1) ist?
"
C
v dx wobei C nun die direkte Ver-
61. Sei W = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] ⊆ IR3 der Würfel. Berechnen Sie das Oberflächenintegral
# $ 3 %
x
y3
dO
3
z
∂W
indem Sie den Gauss’schen Integralsatz anwenden. (Hinweis: Das Ergebnis ist 24).
62. Sei K = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} ⊆ IR2 die Einheitskreisscheibe. Berechnen Sie für das
& x2 y '
Vektorfeld v = −xy
das Kurvenintegral
2
(
v dx
∂K
indem Sie den Green’schen Integralsatz anwenden. (Hinweis: das Ergebnis ist π2 .)