6. ¨Ubung Mathematik 2 für MB/VT/WI – 28.4.2010

6. Übung Mathematik 2 für MB/VT/WI – 28.4.2010
51. Sei f (x, y) = x2 cos(y) + y cos(x) + x. Betrachtet wird die Höhenschichtlinie f (x, y) = 0. Bestätigen Sie, dass
es um den Punkt P = (0, 0) eine Funktion g(x) gibt, sodass g(0) = 0 und f (x, g(x)) = 0. Berechnen Sie die
Tangente an g(x) im Punkt x = 0. (Hinweis: Hauptsatz über implizite Funktionen.)
52. Sei f (x, y) = 4x2 + y 2 − r2 eine Funktion, r > 0 reell konstant.
(a) Wie sehen die Höhenschichtlinien dieser Funktion aus, im Speziellen die Höhenschichtlinie f (x, y) = 0?
(b) Bestätigen Sie, dass im Punkt P = (0, r) die Voraussetzungen des Hauptsatzes über implizite Funktionen erfüllt sind.
(c) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der Funktion g(x) um 0, welche in der Formulierung
des Hauptsatzes über implizite Funktionen im Skriptum vorkommt.
√
(d) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der Funktion h(x) = r2 − 4x2 im Punkt x = 0.
Was fällt Ihnen auf? Warum?
RR
53. Sei f (x, y) = −2x. Berechnen Sie
D f (x, y) dxdy, wobei D = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} direkt anhand der
Summen-Definition des Doppelintegrals.
Anleitung: Betrachten Sie die Zerlegung von D in kleine Quadrate der Seitenlänge N1 mit Eckpunkten in
den Punkten ( Nk , Nj ), k, j ganze Zahlen zwischen 0 und N . Skizzieren Sie D und die Zerlegung. Berechnen
Sie
N X
N
X
1
k j
,
· 2.
S(N ) =
f
N N
N
k=1 j=1
Erklären Sie, was diese Summe berechnet. Berechnen Sie limN →∞ S(N ) und erklären Sie das Ergebnis.
54. Begründen Sie anhand der Definition des Doppelintegrals die Gültigkeit folgender Gleichungen für zwei auf
D integrierbare Funktionen f (x, y) und g(x, y):
RR
RR
RR
(a)
D f (x, y) + g(x, y) dxdy =
D f (x, y) dxdy +
D g(x, y) dxdy,
RR
RR
(b)
cf (x, y) dxdy = c D f (x, y) dxdy, c reell konstant,
R RD
RR
RR
(c)
D f (x, y) dxdy =
D1 f (x, y) dxdy +
D2 f (x, y) dxdy, falls D = D1 ∪ D2 und D1 und D2 sich
nicht überlappen.
55. Berechnen Sie das folgende Integral über den angegebenen Integrationsbereichen. Fertigen Sie eine Skizze
der jeweiligen Integrationsbereiche an.
(a)
Z Z
xy − 4y 3 dxdy,
D
wobei D das von den Geraden x = −2, x = 1, y = −1 und y = 1 begrenzte Rechteck ist.
(b)
Z Z
xy − 4y 3 dxdy,
D
wobei D das von den Funktionen y =
√
x und y = x2 begrenzte Gebiet ist.
56. Berechnen Sie die folgenden Integrale. Fertigen Sie eine Skizze der jeweiligen Integrationsbereiche an. Was
berechnet das letzte Integral?
Z Z
Z Z √
Z Z √
π
y+1
1
y
0
sin(y)
2
2−y 2
2
xey−x dxdy,
1 dxdy,
0
0
−2
−
√
3 dxdy.
2−y 2
57. Sei f (x, y) = −2 und D das von den Geraden y = 0, y − x = 2 und 3x + y = 0 begrenzte Dreieck.
(a) Skizzieren Sie D.
RR
RR
(b) Berechnen Sie
D f (x, y) dxdy und
D f (x, y) dydx (d.h. berechnen Sie dasselbe Integral nochmals
mit vertauschter Integrationsreihenfolge).
Bemerkung: Bei einer Integrationsreihenfolge ist der Integrationsbereich in zwei Bereiche aufzuteilen,
d.h. es treten dann zwei Integrale auf.
RR
(c) Was berechnet das Integral
D f (x, y) dxdy?
58. Skizzieren Sie den Integrationsbereich, vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge und berechnen Sie das
Integral:
Z 1Z 1
2
ex /2 dxdy.
0
y
59. Skizzieren Sie den Integrationsbereich, vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge und berechnen Sie das
Integral:
Z 2Z 4
x
dydx.
2
0
x2 y + 1
60. Gegeben sind die zwei Integrale
Z 2Z
x
Z
f (x, y) dydx
0
0
2Z y
und
f (x, y) dxdy.
0
0
Skizzieren Sie die jeweiligen Integrationsbereiche und finden Sie eine Funktion f (x, y), sodass
(a) beide Integrale verschiedene Werte liefern,
(b) beide Integrale denselben Wert liefern, wobei f 6= 0 gelten soll.