Mathematik III für ME und WT(Diplom)

Mathematik III für ME und WT(Diplom)
Übungsaufgaben, Serie 1, Doppel- und Dreifachintegrale
Z1 Zy2
1. Berechnen Sie das Integral
WS 2006/2007
x
e y dx dy .
y=0 x=0
Skizzieren Sie zunächst den Integrationsbereich.
Z Z
2. Welchen Wert besitzt das Doppelintegral
(1 + x + y) dA, wenn A der Einheitskreis
(A)
(Radius r = 1 mit Mittelpunkt in (0, 0)) ist?
3. Eine kreisförmig gebogene Leiterschleife vom Radius R wird senkrecht von einem Magnetfeld durchutet, dessen magnetische Fluÿdichte B nach der Gleichung
B0
B(r) =
, r ≥ 0 (B0 = const.)
1 + r2
in radialer Richtung nach auÿen hin abnimmt.
Bestimmen Sie den magnetischen Fluÿ Φ durch die Leiterschleife mit
Z Z
Φ=
B dA .
(A)
Verwenden Sie Polarkoordinaten.
π
Zπ Z2 Z1
cos(x + y)e3z dz dy dx .
4. Berechnen Sie das Integral
x=0 y=0 z=0
Welche Gestalt hat der Integrationsbereich.
5. Die Ebene x+y+z = 6 bildet mit den drei Koordinatenebenen eine gleichseitige Pyramide.
Bestimmen Sie das Volumen und den Schwerpunkt dieser Pyramide.
6. Wie groÿ ist das Volumen des Körpers, der von den Ebenen x = 0, x = 4, y = 0, y = x + 2
sowie z = 2x + y + 1 und z = 4x + 2y + 3 begrenzt wird?
7. Die Menge aller Punkte mit folgenden kartesischen Koordinaten
0≤x≤1,
0≤y ≤1−x ,
0≤z ≤1−x−y
beschreibt ein Tetraeder.
Skizzieren Sie das Tetraeder und berechnen Sie die Koordinaten seines Schwerpunktes.
8. Ein Körper wird durch die Flächen x + z = 2, x2 + y 2 = 4 und z = 0 begrenzt. Die Dichte
betrage %(x, y, z) = 3y 2 . Welche Masse besitzt der Körper?
Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten.
9. Berechnen Sie die Masse des Körpers, der sich als Durchschnitt des Kreiskegels
x2 + y 2 ≤ z 2 und der Halbkugel x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 (z ≥ 0) ergibt, wenn für seine Dichte %
gilt %(x, y, z) = r2 , wobei r den Abstand des Punktes (x, y, z) vom Ursprung bezeichnet.
Hinweis: Verwenden Sie Kugelkoordinaten.
10. Berechnen Sie das Volumen des von den Flächen z = x2 + y 2 (Rotationsparaboloid mit
Scheitelpunkt in (0, 0, 0)), z = x2 + y 2 + 4 (Rotationsparaboloid mit Scheitelpunkt in
(0, 0, 4)) und z = 10 eingeschlossenen Körpers.
Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten.