Blatt 10

Übungsblatt 10
Mathematische Methoden I
Besprechung: 13.1 - 15.1.2010
Dr. Walter Winter, Martin Krauß
Gesamtpunktzahl: 21 Punkte
Aufgabe 1: Zykloide (3 Punkte)
Eine Zykloide wird parametrisiert durch
t − sin t
~r(t) = R
.
1 − cos t
a) (1 Punkt) Skizzieren Sie die so parametrisierte Kurve für t ∈ [0, 4π]. Berechnen Sie hierfür
z.B. alle Punkte mit t = n π2 für n = 1, 2, . . .
b) (1 Punkt) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~v (t) = ~r˙ (t). Zeichnen Sie auch ~v (t)
und |~v (t)|.
c) (1 Punkt) Handelt es sich um eine Parametrisierung in Bogenlänge?
Aufgabe 2: Schraubenbahn (3 Punkte)
Eine Schraubenbahn sei gegeben durch


cos t
1
~r(t) = √  sin t 
3 vt
0
a) (1 Punkt) Geben Sie ~r˙ und ~r¨ an. Wie muss v0 gewählt werden, damit es sich um eine
Parametrisierung in Bogenlänge handelt? Was ist der Tangenteneinheitsvektor?
b) (1 Punkt) Welchen Krümmungsradius ρ hat die Kurve?
c) (1 Punkt) Bestimmen Sie auch Normaleneinheitsvektor und Binormale. Zeigen Sie, dass
beide zusammen mit dem Tangenteneinheitsvektor ein Orthonormalsystem bilden.
Aufgabe 3: Konservatives Kraftfeld (6 Punkte)
a) (2 Punkte) Finden Sie das skalare Potential φ(~r), dessen Gradient F~ (~r) = (x+1, z 2 , 2yz)T
ist und berechnen Sie die Potentialdifferenz zwischen den Punkten P1 = (4, 0, 0) und
P2 = (0, 0, 4).
R
b) (2 Punkte) Berechnen Sie das Kurvenintegral d~rF~ entlang des Viertelkreises von P1
nach P2 mit Mittelpunkt im Ursprung.
c) (2 Punkte) Berechen Sie das Kurvenintegral auch für einen Weg, der die beiden Punkte
als Gerade verbindet. Vergleichen Sie jeweils Ihre Ergebnisse!
Aufgabe 4: Planetenbahn1 (9 Punkte)
Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse, wobei die Sonne sich in
einem ihrer Brennpunkte befindet. Sie wird parametrisiert durch


cos θ
a
 sin θ  ,
~r(θ) =
θ ∈ [0, 2π[ ,
1 − cos θ
0
wobei a die Länge der großen Halbachse und die (numerische)
Exzentrizität der Bahn beschreibt.
a) (2 Punkte) Berechnen Sie
∂~
r(θ)
.
∂θ
Hinweis: Das Ergebnis ist a/(1 − cos θ)2 (− sin θ, cos θ − , 0)T .
b) (2 Punkte) Das Gravitationspotential2 ist gegeben durch
m mP
φ (r(θ)) = −G .
|~r(θ)|
Für welche Winkel θP und θA befindet sich der Planet im Perihel (sonnennächster Punkt)
und Aphel (sonnenfernster Punkt)? Berechnen Sie ∆φ = φ(rA ) − φ(rP ) mit rA = |~r(θA )|
und rP = |~r(θP )|.
c) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass für die Gravitationskraft gilt
~ (r(θ)) = −G m mP ~r(θ) .
F~G (~r(θ)) = −∇φ
|~r(θ)|2 |~r(θ)|
Welche Eigenschaft hat damit das Gravitationsfeld?
Hinweis: Benutzen Sie für die Rechnung kartesische Koordinaten mit ~r = (x, y, z)T .
d) (3 Punkte) Berechnen Sie nun mit Hilfe eines Kurvenintegrals und des Ergebnisses von
a) die vom Gravitationsfeld verrichteten Arbeit, wenn sich der Planet vom Aphel zum
Perihel bewegt.
Z~rP
∆W =
~
rA
d~r · F~G (~r(θ)) =
ZθP
dθ
∂~r(θ) ~
· FG (~r(θ)) .
∂θ
θA
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit b). Was geschieht mit der vom Gravitationsfeld verrichteten Arbeit?
1
Die Teilaufgaben können unabhängig voneinander bearbeitet werden.
G ist die Newton’sche Gravitationskonstante und m bzw. mP ist die Masse der Sonne bzw. des Planeten.
Manchmal wird der Begriff Gravitationspotential auch für die Definition ohne mP verwendet. Hier entspricht
das Potential der potentiellen Energie des Planeten.
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