MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften Herbstsemester 2009 Übungsblatt 4 Abgabetermin: Mittwoch, 14. Oktober, Donnerstag, 15. Oktober, bzw. Freitag, 16. Oktober, bei der Übungsleiterin oder beim Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde. 1 Technik des Differenzierens Aufgabe 34 (∗ 4 Punkte). Leiten Sie die folgenden Funktionen ab: 1 5 a) f (x) = x5 + 2x3 − x − 4 6 x √ 3 √ 1 x11 + √ 7 x3 cos x − x d) k(x) = sin x f) m(x) = ln(z 3 + 1) · ln(z 2 − 2) b) g(x) = c) h(x) = (x + 4) ln x + ex e) l(x) = x · sin x · ex x− Aufgabe 35 (4 Punkte). Differenzieren Sie: a) A(z) = (z 3 + a)ea + 1 qp 3 c) φ(ξ) = ξ+ξ b) F (t) = 32t · t6 π d) h(ψ) = cot 3ψ + 3 Aufgabe 36 (∗ 4 Punkte). Wie lautet die erste Ableitung der folgenden Funktionen? √ a) Φ(t) = e x − z2 x2 − z 2 cos α d) k(α) = 1 − sin α 1 f) g(u) = (3u − 1)5 t5 −1 b) H(z) = c) W (u) = cos(sin(cos u)) e) G(v) = sin3 v − cos2 v Aufgabe 37 (4 Punkte). Berechnen Sie die erste Ableitung von z−1 a) g(z) = ln +5 b) h(r) = ln(tr + s) z+1 p 1 d) f (x) = 5 (1 − 2x) c) E(u) = exp u − 2 u +2 Aufgabe 38 (4 Punkte). Berechnen Sie f 0 (x0 ) für a) f (x) = ex − 2 , x0 = 0 2ex x x b) f (x) = 2 ln(sin ) − x cos , x0 = π 2 2 Interpretieren und berechnen Sie die folgende Ausdrücke q √ d 3t − 1 d c) |t=3 d) x 4x |x=2 dt 2t dx Version vom 6. Oktober 2009, 10:26 Uhr Seite 1 MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften Herbstsemester 2009 Aufgabe 39 (∗ 4 Punkte). Vermischte Bezeichnungen und Regeln. Berechnen Sie d (ln x(sin x − cos x)) dx π dG c) für G(γ) = cos2 γ dγ 4 a) b) H 0 (1) für H(z) = ln(ez + ez+2 ) s s−1 0 d) F (s) für F (s) = s+1 Aufgabe 40 (4 Punkte). Höhere Ableitungen. Berechnen Sie 1 √ a) ẍ(1) für x(t) = 5t − 3 + t7 t 2 d g für g(x) = (2x ln x) c) dx2 2 b) (x − 1)2 x3 000 d) f (50) (ϕ) für f (ϕ) = e2ϕ + 1 ϕ 2 Tangenten Hinweis. Die Form der Tangentengleichung kennen Sie aus der Mittelschule. Sie wird in (7.2) repetiert. Aufgabe 41 (∗ 4 Punkte). Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Kurvenpunkt (x0 , f (x0 ))? a) f (x) = cos2 x, x0 = 3π 4 b) f (x) = ln √ x + x2 , x 0 = 1 c) Bestimmen Sie die Gleichung der ”Wendetangente“ (d.h., der Tangente im Wendepunkt) des Graphen der Funktion f (x) = 2x3 + 6x2 − 3x + 2. Aufgabe 42 (◦). Der Schnittwinkel zweier Kurven ist als Schnittwinkel der Tangenten im Schnittpunkt definiert. Unter welchem spitzen Winkel (in Grad) schneiden sich die √ durch y = 1/ x und y = x2 gegebenen Kurven? 3 Geschwindigkeit Aufgabe 43 (4 Punkte). Die z-Achse zeigt (im Sinn der Schwerkraft) nach oben. Ein Massenpunkt bewegt sich nach der Gleichung z = −t2 + 4t − 3 (Einheit m). a). Zu welchen Zeitpunkten hat die Geschwindigkeit (in z-Richtung) den Betrag 4 m/s? b). Was zeigt das Vorzeichen der Geschwindigkeit an? c). Was ist die maximale Höhe, die der Massenpunkt erreicht? d). Was ist die Geschwindigkeit des Punktes, wenn er auf dem Boden aufschlägt? Version vom 6. Oktober 2009, 10:26 Uhr Seite 2 MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften Aufgabe 44. (◦) Die Ladewanne eines Lastwagens ist 4 m lang. Ihr Querschnitt ist ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck gemäss Figur. Eine Zuleitung belädt den Lastwagen mit einer Flüssigkeit und zwar mit einer Leistung von 0.5 m3 /min. Wie gross ist die Steiggeschwindigkeit der Flüssigkeit zur Zeit t, wenn die Beladung zur Zeit t = 0 beginnt? Herbstsemester 2009 ←−−−− 2 m −−−−→ ..... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . ..... . ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . ......... .... ..... ......... ......... ......... ..... .. ..... ..... ..... ..... ..... ........ ......... 4 Repetitionsaufgabe Aufgabe 45 (4 Punkte). Ein Parallelogramm im Raum hat die Ecken A, B, C, D, wobei sich A und C sowie B und D gegenüberliegen. Gegeben sind die Ecken A(3, 1, −2), B(7, 2, 0) und D(−2, 2, 3). a). Geben Sie die Koordinaten von C an. b). Wie gross ist der spitze Winkel zwischen den Diagonalen? c). Wie gross ist der Flächeninhalt des Parallelogramms? d). Liegt der Punkt P (2, 1, 3) über oder unter der Ebene, in der das Parallelogramm liegt? (Die z-Achse zeigt wie üblich nach oben.) Version vom 6. Oktober 2009, 10:26 Uhr Seite 3