Übungsblatt 4

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MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften
Herbstsemester 2009
Übungsblatt 4
Abgabetermin: Mittwoch, 14. Oktober, Donnerstag, 15. Oktober, bzw. Freitag, 16. Oktober, bei
der Übungsleiterin oder beim Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde.
1 Technik des Differenzierens
Aufgabe 34 (∗ 4 Punkte). Leiten Sie die folgenden Funktionen ab:
1
5
a) f (x) = x5 + 2x3 − x − 4
6
x
√
3
√
1
x11 + √
7
x3
cos x − x
d) k(x) =
sin x
f) m(x) = ln(z 3 + 1) · ln(z 2 − 2)
b) g(x) =
c) h(x) = (x + 4) ln x + ex
e) l(x) = x · sin x · ex
x−
Aufgabe 35 (4 Punkte). Differenzieren Sie:
a) A(z) = (z 3 + a)ea + 1
qp
3
c) φ(ξ) =
ξ+ξ
b) F (t) = 32t · t6
π
d) h(ψ) = cot 3ψ +
3
Aufgabe 36 (∗ 4 Punkte). Wie lautet die erste Ableitung der folgenden Funktionen?
√
a) Φ(t) = e
x − z2
x2 − z 2
cos α
d) k(α) =
1 − sin α
1
f) g(u) =
(3u − 1)5
t5 −1
b) H(z) =
c) W (u) = cos(sin(cos u))
e) G(v) = sin3 v − cos2 v
Aufgabe 37 (4 Punkte). Berechnen Sie die erste Ableitung von
z−1
a) g(z) = ln
+5
b) h(r) = ln(tr + s)
z+1
p
1
d) f (x) = 5 (1 − 2x)
c) E(u) = exp u − 2
u +2
Aufgabe 38 (4 Punkte). Berechnen Sie f 0 (x0 ) für
a) f (x) =
ex − 2
, x0 = 0
2ex
x
x
b) f (x) = 2 ln(sin ) − x cos , x0 = π
2
2
Interpretieren und berechnen Sie die folgende Ausdrücke
q
√
d 3t − 1
d
c)
|t=3
d)
x 4x |x=2
dt
2t
dx
Version vom 6. Oktober 2009, 10:26 Uhr
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MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften
Herbstsemester 2009
Aufgabe 39 (∗ 4 Punkte). Vermischte Bezeichnungen und Regeln. Berechnen Sie
d
(ln x(sin x − cos x))
dx
π dG
c)
für G(γ) = cos2
γ
dγ
4
a)
b) H 0 (1) für H(z) = ln(ez + ez+2 )
s
s−1
0
d) F (s) für F (s) =
s+1
Aufgabe 40 (4 Punkte). Höhere Ableitungen. Berechnen Sie
1 √
a) ẍ(1) für x(t) = 5t − 3 + t7
t
2
d g
für g(x) = (2x ln x)
c)
dx2
2
b)
(x − 1)2
x3
000
d) f (50) (ϕ) für f (ϕ) = e2ϕ +
1
ϕ
2 Tangenten
Hinweis. Die Form der Tangentengleichung kennen Sie aus der Mittelschule. Sie wird in
(7.2) repetiert.
Aufgabe 41 (∗ 4 Punkte). Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von
f im Kurvenpunkt (x0 , f (x0 ))?
a) f (x) = cos2 x, x0 =
3π
4
b) f (x) = ln
√ x + x2 , x 0 = 1
c) Bestimmen Sie die Gleichung der ”Wendetangente“ (d.h., der Tangente im Wendepunkt) des Graphen der Funktion f (x) = 2x3 + 6x2 − 3x + 2.
Aufgabe 42 (◦). Der Schnittwinkel zweier Kurven ist als Schnittwinkel der Tangenten
im Schnittpunkt definiert. Unter welchem spitzen Winkel (in Grad) schneiden sich die
√
durch y = 1/ x und y = x2 gegebenen Kurven?
3 Geschwindigkeit
Aufgabe 43 (4 Punkte). Die z-Achse zeigt (im Sinn der Schwerkraft) nach oben. Ein
Massenpunkt bewegt sich nach der Gleichung z = −t2 + 4t − 3 (Einheit m).
a). Zu welchen Zeitpunkten hat die Geschwindigkeit (in z-Richtung) den Betrag 4 m/s?
b). Was zeigt das Vorzeichen der Geschwindigkeit an?
c). Was ist die maximale Höhe, die der Massenpunkt erreicht?
d). Was ist die Geschwindigkeit des Punktes, wenn er auf dem Boden aufschlägt?
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MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften
Aufgabe 44. (◦)
Die Ladewanne eines Lastwagens ist 4 m lang.
Ihr Querschnitt ist ein rechtwinklig-gleichschenkliges
Dreieck gemäss Figur. Eine Zuleitung belädt den
Lastwagen mit einer Flüssigkeit und zwar mit einer
Leistung von 0.5 m3 /min. Wie gross ist die Steiggeschwindigkeit der Flüssigkeit zur Zeit t, wenn die Beladung zur Zeit t = 0 beginnt?
Herbstsemester 2009
←−−−− 2 m −−−−→
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4 Repetitionsaufgabe
Aufgabe 45 (4 Punkte). Ein Parallelogramm im Raum hat die Ecken A, B, C, D, wobei
sich A und C sowie B und D gegenüberliegen. Gegeben sind die Ecken A(3, 1, −2),
B(7, 2, 0) und D(−2, 2, 3).
a). Geben Sie die Koordinaten von C an.
b). Wie gross ist der spitze Winkel zwischen den Diagonalen?
c). Wie gross ist der Flächeninhalt des Parallelogramms?
d). Liegt der Punkt P (2, 1, 3) über oder unter der Ebene, in der das Parallelogramm
liegt? (Die z-Achse zeigt wie üblich nach oben.)
Version vom 6. Oktober 2009, 10:26 Uhr
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