Theoretische Physik B: Elektrodynamik (WS2014/2015)

Department Physik
Universität Paderborn
Paderborn, den 20. Oktober 2014
Dr. Matthias Reichelt
Dipl.-Phys. Przemyslaw Lewandowski
B. Sc. Christian Wiebeler
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik B: Elektrodynamik (WS2014/2015)
B LATT 2
Abgabe am Montag, den 27.10.2014, in der Vorlesung oder bis spätestens 14 Uhr im Briefkasten.
1. Nichts als Arbeit (5 Punkte)
Gegeben sei das elektrische Feld


x
E(r) = a  1 
z
mit der Konstanten a und die Punkte






0
−x1
x1
P1 =  y1  , P2 =  −y1  , P3 =  −y1  .
0
−z1
z1
a) Berechnen Sie die Arbeit, die notwendig ist, um eine Ladung Q von P1 nach P2 zu verschieben.
b) Nennen Sie die Arbeit, die notwendig ist, um die Ladung Q von P2 nach P3 und von P3 zurück
nach P1 zu verschieben.
c) Ist das Feld konservativ? Falls ja, geben Sie ein Potential Φ(r) an.
d) Falls Sie ein Potential gefunden haben, verifizieren Sie damit Ihr Ergebnis aus Teil (a).
2. Der unendliche, dünne, homogen geladene Stab (5 Punkte)
q
geladen, wobei q
Ein dünner Stab der Länge 2a sei homogen mit einer Linienladungsdichte λ = 2a
die Gesamtladung ist. Der Stab liege auf der z-Achse, seine beiden Enden jeweils bei z = ±a. Die
Ladungsdichte ist folglich ρ(r) = λδ(x)δ(y)Θ(z− | a |).
a) Berechnen Sie das E-Feld E(ρ, ϕ, z)vorerst für einen unendlich langen Stab (d.h. a → ∞) mit
Hilfe des Satzes von Gauß.
b) Berechnen Sie das elektrostatische Potential Φ(ρ, ϕ, z) für einen endlichen Stab über das PoissonIntergral. Verwenden Sie dabei das unbestimmte Integral
Z
√
p
1
dx = ln x + 1 + x2 .
1 + x2
c) Bestimmen Sie nun das E-Feld durch Ableiten.
d) Verifizieren Sie Ihr Ergebnis aus Aufgabenteil (a), indem Sie den Grenzübergang a → ∞ (am
geschicktesten bei z = 0) vornehmen.
3. Wasserstoff mit Potential (5 Punkte)
Das elektrostatische Potential eines Wasserstoffatoms im Grundzustand beträgt
Φ(r) =
Hierbei ist α =
2
a0 ,
αr q exp(−αr) 1+
.
4π0
r
2
wobei a0 der Bohrsche Radius ist.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Potentials die Ladungsverteilung ρ(r) des Wasserstoffatoms.
Verwenden Sie hierbei geschickt die Kettenregel
∆(f g) = (∆f )g + f (∆g) + 2∇f · ∇g
und die Relation aus Blatt 1, Aufgabe 2.
b) Wie ist das Ergebnis aus Aufgabenteil (a) physikalisch zu interpretieren?