Ubungsaufgabe Theoretische Physik (5 Punkte)

Übungsaufgabe Theoretische Physik (5 Punkte):
Feld einer homogen geladenen Kugeloberfläche
Die Oberfläche einer Kugel vom Radius R sei homogen mit Ladung belegt:
ρ(r, ϑ, ϕ) = ρ(r) = σδ(r − R) .
σ ist eine Konstante und δ(r − R) die eindimensionale δ-Funktion der Radialvariable.
a) (1 Punkt) Berechnen Sie die Gesamtladung Q, indem Sie ρ über den gesamten Raum integrieren! Nutzen Sie dazu Kugelkoordinaten! Welche Bedeutung hat σ, und wie hängt σ mit Q
zusammen?
b) (2 Punkte) Bestimmen Sie das elektrostatische Potenzial Φ(r) (innerhalb und außerhalb der
Kugeloberfläche) indem Sie die Volumenintegration in
Z
1
ρ(r 0 )
Φ(r) =
d3 r 0
4πε0
|r − r 0 |
durchführen! Hinweise: Betrachten Sie r als beliebig aber fest, und legen Sie das Koordinatensystem so, dass r = (0, 0,
z). Benutzen√Sie Kugelkoordinaten r0 , ϑ0 , ϕ0 für die Integration, und
p
schreiben Sie |r − r 0 | = (r − r 0 )2 = r2 + r0 2 − 2rr0 cos ϑ0 !
c) (1 Punkt) Berechnen Sie mithilfe von Φ(r) die elektrische Feldstärke E(r) im gesamten
Raum! Testen Sie, ob das Gaußsche Gesetz erfüllt ist! Ist die Methode (b und c) zur Berechnung von E(r) effizient?
d) (1 Punkt) Wie groß ist die Energiedichte w(r) und die gesamte Feldenergie W der Ladungsverteilung? Wie verhält sich W für R → 0, wenn die Gesamtladung Q konstant bleibt? Vergleichen Sie mit dem Resultat (siehe Vorlesung) einer homogen geladenen Kugel mit R → 0 und
konstantem Q!