Beilage zur Serie 5

Praktikum II
Prof. M. J. Grote; M. Girlich, U. Nahum, C. Stohrer
FS 2012
Universität Basel
Beilage zur Serie 5
Quadraturformel
Es soll das Integral I einer Funktion f über das Intervall [a, b] numerisch berechnet werden.
Zb
I=
f (x) dx
a
Auf dem Intervall [0, 1] benutzen wir dazu eine Quadraturformel
Q[f ] =
n
X
xk ∈ [0, 1], k = 1, 2, . . . , n.
ωk f (xk ),
k=1
Die xk nennt man Stützstellen (oder Knoten) und die ωk Gewichte. Um ein beliebiges
Intervall [a, b] zu betrachten transformieren wir einfach das Einheitsintervall [0, 1] mit der
entsprechenden Quadraturformel auf das gesuchte Intervall.
In dieser Serie betrachten wir die Simpsonregel QS [f ] und die 3/8-Regel Q3/8 [f ]. Die Stützstellen und die Gewichte dieser Formeln kann man in der foglenden Tabelle ablesen:
Stützstellen
Simpsonregel
3/8-Regel
1
2
0
0
1
3
Gewichte
1
6
1
2
3
1
1
8
4
6
3
8
1
6
3
8
1
8
Summierte Quadraturformeln
Das Intervall [a, b] kann man nun in N Teilintervalle der Länge h = (b − a)/N aufteilen.
Auf jedem Teilintervall [a + kh, a + (k + 1)h], k = 0, 1, . . . , N − 1, berechnet man eine
Approximation des Integrals gemäss einer der obigen Formeln und summiert dann die Werte
über die Teilintervalle. Dadurch erhält man die summierte Simpson- bzw. 3/8-Regel:
!
N
−1
N
−1
X
X
h
QS (h) =
f (a) + 2
f (a + kh) + 4
f (a + (k + 1/2)h) + f (b) ,
6
k=1
k=0
Q3/8 (h) =
h
8
f (a) + 2
N
−1
X
k=1
f (a + kh) + 3
N
−1
X
k=0
f (a + (k + 1/3)h) + 3
N
−1
X
!
f (a + (k + 2/3)h) + f (b) .
k=0
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
http://www.tinyurl.com/praktikumII