Numerik (Teil 2)

Numerik (Teil 2)
Sommersemester 2016
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. S. Bartels
Dipl.-Math. A. Papathanassopoulos
Übungsblatt 3
Abgabe: Bis Mittwoch, den 8. Juni 2016, 14 Uhr, in den Briefkasten vor dem Cip-Pool im
zweiten Stock des RZ (Hermann-Herder-Str. 10).
Aufgabe 1. Für die durch die Punkte xi = (i/n)4 , i = 0, 1, . . . , n, definierte Partitionierung
von [0, 1] sei fn ∈ S 1,0 (Tn ) die interpolierende Spline-Funktion von f (x) = x1/2 . Zeigen Sie, dass
maxx∈[0,1] |fn (x) − f (x)| ≤ cn−2 mit einer von n unabhänigen Konstanten c > 0 gilt. Skizzieren
Sie fn für n = 2, 4, 8.
Aufgabe 2. Für n + 1 Stützstellen und -werte (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) und 0 ≤ j ≤ n
sowie 0 ≤ i ≤ n − j sei pi,j ∈ Pj festgelegt durch pi,j (xk ) = yk , k = i, i + 1, . . . , i + j. Die Zahlen
yi,j seien definiert durch yi,0 = yi , i = 0, 1, . . . , n, und
yi+1,j−1 − yi,j−1
yi,j =
xi+j − xi
für 1 ≤ j ≤ n und 0 ≤ i ≤ n − j.
(i) Zeigen Sie, dass pi,j (x) = yi,j xj + ri,j (x) mit einem Polynom ri,j ∈ Pj−1 für j ≥ 1 und
i = 0, 1, . . . , n − j gilt.
(ii) Zeigen Sie, dass für qj (x) = p0,j (x) − p0,j−1 (x), wobei p0,−1 = 0 sei, die Darstellung qj (x) =
Q
y0,j j−1
i=0 (x − xi ) gilt.
P
Q
(iii) Folgern Sie, dass p0,n (x) = nj=0 y0,j j−1
i=0 (x − xi ) gilt.
Aufgabe 3. Bestimmen Sie explizit die interpolierenden kubischen Splines mit natürlichen
sowie Hermite-Randbedingungen s0 (−1) = 0, s0 (1) = 3, für die Stützstellen xi = −1 + i/2 und
Stützwerte yi = (−1)i , i = 0, 1, 2, . . . , 4, und zeichnen Sie diese.
Aufgabe 4. (i) Es seien P0 , P1 , . . . , Pn ∈ Rm . Zeigen Sie, dass die Abbildung z : [0, 1] → Rm ,
n X
n i
z(t) =
t (1 − t)n−i Pi ,
i
i=0
die Eigenschaften z(0) = P0 , z(1) = Pn sowie z 0 (0) = n(P1 − P0 ), z 0 (1) = n(Pn − Pn−1 ) besitzt.
(ii) Konstruieren Sie Punkte P0 , P1 , P2 , P3 ∈ R2 , so dass der Graph der Abbildung z möglichst
gut den Viertelkreis {(x, y) ∈ R2 : y = (1 − x2 )1/2 , 0 ≤ x ≤ 1} approximiert.
Homepage: https://portal.uni-freiburg.de/aam/abtlg/ls/lsbartels/lehre/Num2