Aufgabenblatt

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler
Sommersemester 2011
10.Tutorium (20.06.11 - 24.06.11)
( Differentiation und Anwendungen)
( Integration und Anwendungen)
1. Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) =
p√
x3 + 5
(a) Berechnen Sie die Elastizität von K(x) .
(b) Die Produktionsmenge x werde von x0 = 10 um 2 Prozent erhöht. Berechnen
Sie näherungsweise , um wieviel Prozent sich die Kosten erhöhen.(TR)
(c) Berechnen Sie die Elastizität der Stückkosten
K(x)
.
x
(d) Um wieviel Prozent ändern sich näherungsweise die Stückkosten, falls die Produktionsmenge wie in b) erhöht wird.
2. Berechnen Sie zuerst mittels logarithmischer Differentiation und danach mittels Produktregel für die nachfolgenden Funktionen f die erste Ableitung f 0 .
(a) f (x) = xa ax
(x > 0, a > 0)
2
1
3
1
(b) f (x) = (x) (1 − x) 3 (1 + x) 2
(0 < x < 1)
1
2
(c) f (x) = (x + a) x2 ex ln x (x > 0, a > 0)
3. Berechnen Sie mittels logarithmischer Differentiation für die Funktion
f (x) = u(x)v(x) (u > 0) die erste Ableitung f 0 , die Änderungsrate %f und die
Elastizität εf .
4. Ein Unternehmen produziert ein Gut mit Fixkosten c = 500 und konstanten Stückkosten
d = 2. Die Herstellungskosten für y Stück sind dann K(y) = 500 + 2y . Werden y
Stück zum Preis p pro Stück verkauft, so ergeben sich Umsatz und Gewinn zu
U (y, p) = y · p und G(y, p) = U (y, p) − K(y). Aufgrund der Marktkräfte bestehe die
. Berechnen Sie
Preis-Absatz-Beziehung y = 2000 − 200p oder äquivalent p = 2000−y
200
damit
(a) die Gewinnfunktion G(y). (Skizze!)
(b) die Stückzahl y, für die maximaler Gewinn zu erwarten ist.
(c) die Elastizitätsfunktion von G(y).
(d) die Durchschnittsgewinnfunktion
G(y)
.
y
(e) die Stückzahl y, für die maximaler Durchschnittsgewinn zu erwarten ist.
(f) die Elastizitätsfunktion von
G(y)
.
y
Vergleichen Sie mit Ihren Ergebnissen zu Aufgabe 4 im 5.Seminar.
5. Sie kennen die Grenzkostenfunktion eines Ein-Produkt-Unternehmens sowie die Gesamtkosten bei einer Produktion von 10 Einheiten des Produktes
K 0 (x) = 6x2 − 2x + 20
K(10) = 6000
Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion K(x) = Kvar + Kfix .
1
6. Die Grenzkostenfunktion für die Produktion eines Gutes A ist gegeben durch
K 0 (x) = ex + x2 (x = produzierte Menge). Die Fixkosten betragen 1200 Geldeinheiten. Wie lautet die Kostenfunktion?
7. Bestimmen Sie die Fläche, die von den Koordinatenachsen und der Kurve
f (x) = 2 · ln(x + 12 ) eingeschlossen wird.(Skizze anfertigen !)
8. Die Grenzkostenfunktion für die Produktion eines Gutes ist gegeben durch
1
1
K 0 (x) = x3 +
(x = produzierte Menge)
8
x+e
Die Fixkosten betragen 1500 Geldeinheiten. Wie lautet die Kostenfunktion?
2