9. Klasse L¨osungen 9 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 09

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9. Klasse Lösungen
Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel
1.
9
09
Mit Pythagoras q
berechnet man die Höhe h∆ des Grundflächen√
√
Dreiecks: h∆ = s2 − ( 2b )2 = 8 = 2 2. (Alle Maße in cm.)
√
√
√
Also G = 12 bh∆ = 2 2; V = Gh = 2 2 · 5 = 10 2 ≈ 14,1.
√
√
O = 2G + uh = 2 · 2 8 + (3 + 3 + 2) · 5 = 40 + 4 2 ≈ 45,7.
(b) V = r2 πh = 32 π · 5 = 45π ≈ 141,4.
O = 2rπh + 2r2 π = 2 · 3π · 5 + 2 · 32 π = 48π ≈ 150,8
Sh
V = 31 Gh = 13 · 242 · 5 = 960
(c)
h
h
D
C
h
h
,L
,
Höhe h∆ = SM des Seitenflächen-Dreiecks
aus dem Stützq
,
L
√
2
2
M
, F L
dreieck F M S: M S = F M + SF = 122 + 52 = 13.
L
,
A
B
O = 4A∆ +G = 4· 12 BCh∆ +G = 4· 12 ·24·13+242 = 1200.
√
√
(d) V = 13 r2 πh = 13 · 32 π · 5 = 15π ≈ 47,1; m = r2 + h2 = 34
√
√
O = πrm + r2 π = π · 3 · 34 + 32 π = (3 34 + 9)π ≈ 83,2
(a)
L
L
h∆Ls
bL
2 L
2. Der Körper setzt sich zusammen aus einem Kegel mit Radius rK = 2a und Höhe
hK = a plus einem großen Zylinder mit Radius RZ = 2a und Höhe HZ = a minus
einem kleinen Zylinder mit Radius rZ = a und Höhe hz = a:
2
πhK + RZ2 πHZ − rZ2 πhZ = 31 (2a)2 πa + (2a)2 πa − a2 πa =
V = 31 rK
V = 13 r2 πh = 13 ( h2 )2 πh =
3. r = h2 .
π 3
h
12
= 1 dm3 , also h =
q
3
12
π
13 3
aπ
3
dm ≈ 15,6 cm.
α
Aus Bogenlänge
gleich Grundkreisumfang“, b = 360
◦ 2mπ = 2rπ, folgt mit r =
q
q
√
”
◦
α
5
h
360
√ ≈ 161◦ .
und m = h2 + ( h2 )2 = 54 h: 360
◦ · 2 h = 2 , also α =
5
4.
S
E Q
@
Q
2,6r
h E @Q E
AM
E @
@
A
A r E
D
F
A
E
A
h
2
Stützdreieck AF S: h2 +r2 = (2,6r)2 , also h2 = 5,76r2 , h = 2,4r.
Die Grundfläche G besteht aus sechs
gleichseitigen
Dreiecken mit
√
√
Fläche A∆ = 21 DE √· F M = 21 r 23 r = 43 r2 . Also
√
V = 31 Gh = 31 · 6 · 43 r2 · 2,4r = 1,2 3r3 .
Winkel ϕ =<
) F AS der Seitenkante zur Grundfläche aus dem Stützdreieck F AS:
AF
r
cos ϕ = AS = 2,6r
≈ 0,385, also ϕ ≈ 674◦ .
S
√
Seitenflächen-Winkel ψ =<
) F M S aus ∆F M S: tan ψ = FFM
= 2,4r
≈ 2,77; ψ ≈ 70,2◦ .
3
2
5.
S
h1
A
M 1 r1 1
h
M2
r2
r
Ergänzt man den Kegelstumpf zu einem Kegel, so erhält man ähnliche Dreiecke: Die Strecken im Dreieck M1 A1 S verhalten sich
r2
wie die entsprechenden Strecken im Dreieck M2 A2 S: hr11 = h+h
.
1
Kreuzweise multiplizieren: r1 (h + h1 ) = r2 h1
A2
3·2
1h
r1 h + r1 h1 = r2 h1 ; r1 h = r2 h1 − r1 h1 ; h1 = r2r−r
= 5−3
=3
1
1 2
1 2
VK.stumpf = Vganzer K. −Voberer K. = 3 r2 π(h + h1 ) − 3 r1 πh1 ≈ 102,6
6. Eine aus dem halben“ Netz hergestellte√Pyramide hat quadrati”
sche Grundfläche mit Diagonalenlänge 2k, also
ergibt sich im
√
2k 2
eingezeichneten
Stützdreieck mit Pythagoras: ( 2 ) + h2 = k 2 ,
q
somit h = 12 k ≈ 0,71k.
q