im Sommersemester 2004 bei Prof. V. Bangert Blatt 7 11. Juni 200

Übungen zur Vorlesung Elementare Differentialgeometrie“
”
im Sommersemester 2004 bei Prof. V. Bangert
Blatt 7
11. Juni 2004
Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf Ihr Blatt.
1. Ein sphärisches Dreieck ist eine in einer Hemisphäre von S 2 enthaltene Menge ∆, die
von drei Großkreissegmenten der Länge < π berandet wird.
Zeigen Sie, dass für die Oberfläche A(∆) von ∆ gilt:
A(∆) = α1 + α2 + α3 − π ,
wobei α1 , α2 , α3 die Innenwinkel von ∆ sind.
Anleitung: Berechnen Sie zuerst die Oberfläche eines von zwei halben Großkreisen berandeten Zweiecks“. Die zu ∆ gehörenden Großkreise zerlegen S 2 in 8 Dreiecke, wobei
”
je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Mit den anliegenden 3 Dreiecken bildet ∆ 3
Zweiecke, deren Winkel die αi sind.
2. Röhrenflächen. Sei α : (a, b) → R3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, deren
Krümmung nirgends verschwindet, r > 0 und X : (a, b) × R → R3 ,
X(s, ϕ) := α(s) + r cos ϕ n(s) + r sin ϕ b(s) ,
die in Blatt 5, Aufgabe 4 (a) definierte Röhrenfläche.
(a) Berechnen Sie die Oberfläche von X| (a, b) × (0, 2π) . Welcher Zusammenhang besteht zwischen dieser und der Länge von α?
(b) Bestimmen Sie die Oberfläche des Rotationstorus aus Blatt 5, Aufgabe 4 (b) (ii).
3. Die Abbildung X̃ : R × (−1, 1) → R3 mit X̃(u, v) = (cos u, sin u, v) beschreibt einen
Zylinder, der die Sphäre S 2 längs des Äquators berührt.
(a) Zeigen Sie: X̃ ist längentreu.
(b) Bezeichne X(u, v) den Schnittpunkt der Strecke von X̃(u, v) zum Punkt (0, 0, v) mit
der S 2 . Berechnen Sie X : R × (−1, 1) → S 2 ⊆ R3 . Zeigen Sie, dass X flächentreu ist,
und bestimmen Sie so den Flächeninhalt der Sphäre.
p
4. Für a > 0 betrachten Sie den Kegel (x, y, z) ∈ R3 z = a x2 + y 2 . Parametrisieren
Sie eine offene Teilmenge des Kegels so, dass E = G ≡ 1 und F ≡ 0 ist.
Hinweis: Man kann einen Kegel aus Papier basteln. Versuchen Sie, die Bastelanleitung“
”
in eine Formel umzusetzen.
Abgabe: Freitag, 18. Juni in der Vorlesung
Internet: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/geometrie/edg/