P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka ¨Ubungsblatt 8

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P2.2 Elektrodynamik
WS 16/17
Prof. Jan Plefka
Übungsblatt 8
Abgabe Freitag 15.12 vor der Vorlesung – Besprechung im neuen Jahr
H24 - Magnetfeld von stromdurchflossenen Zylindern [2P]
Wir betrachten in dieser Aufgabe unendlich lange stromdurchflossene Zylinder und suchen die
~ x) im gesamten Raum.
magnetische Induktion B(~
a) Zunächst betrachten wir einen Kreiszylinder vom Radius R durch den ein über den Quer~ im gesamten
schnitt homogener Strom I in Längsrichtung ~ez fließt. Zeigen Sie, dass das Feld B
Raum die Form hat
2
p
R
µ
I
0
~ =
(−y
~
e
+
x
~
e
)
ρ
=
θ(ρ
−
R)
θ(R
−
ρ)
+
x2 + y 2
B
x
y
2πR2
ρ2
~
b) Nun wollen wir das B-Feld
eines stromdruchflossenen, asymmetrischen Hohlzylinders (vgl. Skizze) bestimmen. der ebenso von einem homogenen Strom der Stärke I in z-Richtung
durchflossen werde. Wie lautet das Feld im gesamten Raum?
Zeigen Sie ferner, dass im Hohlraum des Zylinders ein homogenes Feld herrscht.
H25 - Magnetfeld einer rotierenden, geladenen Kugeloberfläche [2P]
Eine Kugel vom Radius a trage eine homogen über die Oberfläche verteilte Ladung Q und rotiere
mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine durch den Kugelmittelpunkt führende Achse.
a) Drücken Sie die Ladungsdichte ρ(~x) und den Stromdichtevektor ~j(~x) durch Deltafunktionen
~ · ~j = 0 erfüllt ist, wir es also mit einem magnetoaus und zeigen Sie, dass die Beziehung ∇
statischen Problem zu tun haben.
~ in der Coulomb-Eichung aus dem in der Vorlesung
b) Bestimmen Sie das Vektorpotential A
Z
~ 0
~ x) = µ0 d3 x0 j(~x ) . Hierzu sollten Sie eine Darstellung der Form
hergeleiteten Integral A(~
|~x − ~x0 |
Z
~er0
Q
a
µ
0
~ x) =
~ x) ,
~ x) = dΩ0
A(~
ω
~ × I(~
mit I(~
,
4π
|~x − a~er0 |
finden, wobei dΩ0 = dϕ0 dθ0 das Raumwinkelmaß der Kugeloberfläche ist. Zur Integration von
I~ empfiehlt es sich die Polarachse ~ez0 in Richtung von ~x zu legen. Für die dann verbleibende
θ0 -Integration empfiehlt sich ferner die Substitution ξ = cos θ0 .
1
~ x) im gesamten Raum und zeigen Sie exc) Berechnen Sie dann die magnetische Induktion B(~
plizit, dass diese den Maxwellgleichungen der Magnetostatik
~ ·B
~ = 0,
∇
~ ×B
~ = µ0 ~j
∇
genügt.
H26 - Kleiner Hilfssatz [1P]
Zeigen Sie, dass für zwei differenzierbare Skalarfelder f,g auf R3 und der divergenzfreien Stromstärke
~j der kleine Hilfsatz
Z
h
i
~ x) + g(~x) ~j(~x) · ∇f
~ (~x) ,
0 = d3 x f (~x) ~j(~x) · ∇g(~
gilt. Betrachten Sie hierzu div(f g~j) und nutzen Sie, dass ~j im Unendlichen verschwindet.
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