WS2007/08 Blatt 14 - Technische Universität München

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie I" (Prof. Wachutka)
WS 07/08 Blatt 14
1. Aufgabe
z
a
h
y
0
-h
x
Ein zylindrischer Stabmagnet mit dem Radius a, der Länge 2h und der magnetischen
~ = M0~ez .
Permeabilität µ0 ist homogen magnetisiert mit M
~ läßt sich durch folgende Ausdrücke mit den MagnetisierungsDie Magnetisierung M
stromdichten im Zylindervolumen ~jV bzw. der Magnetisierungsstromdichte auf der
Zylinderoberfläche ~jO beschreiben:
~,
~jV = ∇ × M
~ × ~n,
~jO = M
wobei ~n die Oberflächennormale der Zylindermantelfläche ist, hier also ~n = ~er .
a) WelchenWert hat ~jV ?
b) Geben Sie ~jO in Zylinderkoordinaten an.
~ r) ist durch folgendes Integral gegeben:
Das Vektorpotential A(~
Z ~ 0
j(~r )
~ r ) = µ0
A(~
dV 0
4π 0 |~r − ~r0 |
V
V 0 ist hier das Zylindervolumen, ~r0 ist Ortsvektor für Punkte innerhalb des Zylinders
(inklusive Oberfläche) und ~r ist Ortsvektor für Punkte im ganzen Raum.
~ r), den Ausdruck für B(~
~ r ) ab.
c) Leiten Sie, ausgehend von der obigen Formel für A(~
~
d) Berechnen Sie die magnetische Induktion B(z)
auf der gesamten Zylinderachse, also
für −∞ < z < ∞.
~
e) Geben Sie das Magnetfeld H(z)
auf der gesamten Zylinderachse an ( −∞ < z < ∞).
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie I" (Prof. Wachutka)
WS 07/08 Blatt 14
2. Aufgabe
z
M(r)=M0ez
r
a
Die Oberfläche einer dünnen, kreisrunden Platte mit dem Radius a ist homogen magne~ (ρ) = M0~ez .
tisiert mit M
a) Berechnen Sie die Magnetisierungsstromdichte auf der Plattenoberfläche ? Wie kann
man das Ergebnis interpretieren?
~
b) Berechnen Sie die magnetische Induktion B(z)
auf der gesamten z-Achse außerhalb
der Scheibe.
~
c) Geben Sie das Magnetfeld H(z)
auf der gesamten Zylinderachse außerhalb der Scheibe an.
1. Aufgabe
~ = M0 ∇ × ~ez
a) ~jV = ∇ × M
(Zeigen!)
≡
0
~ × ~n = M0~ez × ~er = M0~eϕ
b) ~j0 = M
c)
~
B
~ r)
∇ × A(~
=
=
=
(∇ wirkt nur auf ~r)
=
µ0
4π
=
~
∇ × fC
µ0
4π
µ0
4π
~ = const.)
(C
=
Z
~j(~r0 )
dV 0
0
0
r − ~r |
V |~
"
#
Z
~j(~r0 )
∇×
dV 0
|~r − ~r0 |
V0
#
Z "
1
−~j(~r0 ) × ∇
dV 0
|~r − ~r0 |
V0
Z ~ 0
j(~r ) × (~r − ~r0 ) 0
dV
V0
|~r − ~r0 |3
µ0
∇×
4π
~+f∇×C
~
∇f × A
| {z }
=0
1
∇
r
=
~r
− 3
r
d) Der Strom dI, der im Ring mit dem Durchmesser a und Höhe dz 0 fließt lefert für
Punkte auf der z-Achse
z
r
dz'
z'
a
~ =
dB
µ0
4π
I
dId~s × ~r
µ0 dI
=
3
r
4π
I
d~s × ~r
r3
dI=M0dz'
Mit
~r = −a~er + (z − z 0 )~ez
d~s = adϕ~eϕ
~
ist die z-Komponente von dB
~
dBz = ~ez · dB
I
µ0 dI ~ez · (d~s × ~r)
=
4π
r3
0 I
dϕ~ez · (a~eϕ ) × (−a~er + (z − z 0 ))~ez
µ0 M0 dz
=
4π
r3
a2
µ0 M 0
0
=
q
3 dz
2
(z − z 0 )2 + a2
Mit
Z
q
dx
(x2 + a2 )3
=
q
x
a2 (x2 + a2 )
liefert nun die Integration von −h bis h:


µ0 M 0 
z−h
z+h

q
Bz (z) =
−q
2
2
2
2
2
(z − h) + a
(z + h) + a
e)
Hz =







1
Bz
µ0
für |x| > h
1
Bz − M0 für |x| ≤ h
µ
2. Aufgabe
~ = M0 ∇ × ~ez
a) ~jmagn = ∇ × M
(Zeigen!)
≡
0
Auf der Scheibenoberfläche gibt es keine Magnetisierungsströme ⇒ nur auf
dem Rand!
b) Das Flächenelement dF = ρdρdφ hat das magnetische Moment dm
~ = ~ez M0 ρdρdφ
dF trägt daher zum magnetischen Vektorpotential im Punkt P = (0, 0, z)T :
µ0
~r
dm
~ × 3
4π
#
" r
µ0 M0 ~ez × ~r
=
ρdρdφ
4π
r3
~
dA(z)
=
z
r
dF
f
r
damit ist
~
~
dB(z)
= ∇ × dA(z)
"
#
~ez × ~r
µ0 M 0
∇×
ρdρdφ
=
4π
r3
~
und der Beitrag zur z-Komponente von B(z)
(
"
~ez × ~r
µ0 M 0
~ez · ∇ ×
ρdρdφ
=
4π
r3
dBz
#)
Mit
~r = −ρ~eρ + z~ez
r
(
"
~r
~ez · ∇ × ~ez × 3
r
3
#)
=
q
z2
+
ρ2
("
3
#
)
~r
= ∇ · ~ez × 3 × ~ez
r
"
#
∂ ~ez · ~r
~r
= ∇· 3 −
∂z
r3
| {zr }
≡0 f ür |~r|6=0
= −
∂ z
∂z r 3
sowie
Z
q
xdx
(x2 + a2 )3
= −q
1
(x2 + a2 )
erhält man Bz (z) durch Itegration von dBz über die Scheibenoberfläche:
2π a
µ0 M 0 ∂ Z Z z
Bz (z) = −
ρdρdφ
4π ∂z
r3
0 0
= −
µ0 M 0 ∂
2 ∂z

 Za

z
√

" 0
ρdρ
z 2 + ρ2
µ0 M 0 ∂
1
1
=
−
z √ 2
2 ∂z
z + a2 z
a2
µ0 M 0
=
.
2 (z 2 + a2 ) 32
c) Hz =
1
B
µ0 z



3 

#