Blatt 6 - BMO München

Übungsaufgaben zu E3 - E3p, Optik und Wellenlehre
Thomas Udem, Karl-Heinz Mantel
Fakultät für Physik, Ludwig-Maximilians-Universität, München
Blatt 6
Aufgabe 21
wird am 24.11.-27.11.2014 besprochen
Reflexionsgesetz in Vektorschreibweise
a) Zeigen Sie, dass für die Reflexion eines Strahls ~s an einer Oberfläche mit dem Normalenvektor
~n gilt: ~sout = ~sin − 2(~sin · ~n)~n
b) Zeigen Sie mit Hilfe dieses Reflexionsgesetzes, dass ein auf ein ”Katzenauge”(Retroreflektor)
auftreffendes Strahlenbündel in Einstrahlrichtung zurückreflektiert wird. Das Katzenauge soll
aus drei Spiegeln aufgebaut sein, die mit den verspiegelten Seiten nach innen jeweils unter 90◦
zum Nachbarspiegel positioniert sind (Würfelecke). Nehmen Sie an, dass an jeder Oberfläche
eine Reflexion auftritt.
c) Was verändert sich, wenn anstelle der Spiegelecke ein entsprechend
geschnittener Glasblock verwendet
wird (siehe Abbildung)?
Aufgabe 22
Langer Sonnenuntergang (*)
In dieser Aufgabe sollen Sie herleiten, unter welchen Bedingungen es vorstellbar wäre, dass Lichtstrahlen knapp über der Erdoberfläche um die Erde laufen (und man so an klaren Tagen während der
gesamten Nacht einen Sonnenuntergang beobachten könnte). Wir machen dazu folgende Annahmen:
a) Auf Meereshöhe ist der tatsächliche Brechungsindex von Luft no = 1, 0003.
b) Die Abweichung des Brechungsindex von 1 ist proportional zur Dichte ρ der Luft gemäß:
n(r) − 1 ∼ ρ(r)
c) Die Dichte der Luft sinkt mit zunehmender Höhe gemäß (isotherme Atmosphäre):
ρ(r) = ρ0 · e−
r−R
hs
dabei ist r der Abstand vom Erdmittelpunkt, R der Erdradius und hs = 8700 m die Skalenhöhe.
Unter diesen Annahmen sollen Sie ableiten, wie stark sich die Dichte von Luft auf Meereshöhe von
der tatsächlichen Dichte unterscheiden müsste, um eine Propagation von Lichtstrahlen 1 m über der
Erdoberfläche zu ermöglichen.
Bestimmen Sie dazu den optischen Weg zwischen zwei Punkten, die sich 1 m über der Erdoberfläche
befinden und verwenden Sie das Fermatsche Prinzip in dem Sinne, dass sich die optische Weglänge bei
einer kleinen Veränderung der Umlaufhöhe nicht ändern darf.
Übungsaufgaben zu E3 - E3p
Aufgabe 23
Blatt 6
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Paraboloid
Mit Hilfe einer reflektierenden Fläche soll eine ebenen Welle in einem Punkt fokussiert werden.
a) Zeigen Sie durch Anwendung des Fermatschen Prinzips (der Lichtweg muss ein Extremum sein),
dass eine reflektierende Fläche, welche eine ebene Welle in einem Punkt fokussiert, ein Paraboloid
sein muss.
b) Nach dem Huygensschen Prinzip wird jeder Punkt einer Wellenfront wieder als Ausgangspunkt
einer neuen Welle (sog. Elementarwelle) betrachtet. Die neue Wellenfront ergibt sich dann durch
Superposition aller Elementarwellen. Fokussierung einer ebenen Welle in einem Punkt bedeutet
dann, dass alle Elementarwellen den gleichen Lichtweg zurücklegen, d.h. die Länge des Lichtweges
ist unabhängig von der Ausgangsposition in der ebenen Welle.
Verwenden Sie dieses Prinzip um die Form der gekrümmten Fläche zu bestimmen.
Aufgabe 24
Abbildungen
a) Leiten Sie die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung ab:
x · y = f2
b) Gegeben sei eine halbkugelförmige Linse mit Radius r und Brechungsindex n.
Berechnen Sie die zusätzliche optische Phase entlang des Pfades S, die durch das Einbringen der
Linse zwischen den Ebenen a und b entsteht.
c) Geben Sie einen Näherungsausdruck für diese Phasenverschiebung für ‘dünne’ Linsen, d.h. ρ ≪ r
an. Warum muss man ρ und nicht r beschränken um von einer dünnen Linse zu sprechen?
Übungsaufgaben zu E3 - E3p
Blatt 6
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d) Betrachten Sie folgenden Pfad:
Vernachlässigen Sie die Dicke der Linse (d.h. Abstand a − b in Abbildung von b)), aber berücksichtigen Sie die Phasenverschiebung aus Teil c) um die Phasenverschiebung entlang des roten
Pfades zu berechnen. Wenden Sie die paraxiale Nährung (b ≫ ρ, g ≫ ρ) an.
e) Unter welcher Bedingung ist die Phasenverschiebung in d) unabhängig von ρ, d.h. alle Pfade
interferieren in B konstruktiv? Vergleichen Sie dies mit den Ergebnissen aus der Vorlesung.
(*) Aufgaben nur für Studenten der E3. Es ist auch Studenten der E3p erlaubt diese Aufgaben zu
lösen.