Übungsblatt 11

Theoretische Physik Ib (Elektrodynamik)
M. Göckeler, WS 2016/17
Blatt 11 (17. – 18.1.2017)
Aufg. 1
Betrachten Sie eine ebene elektromagnetische Welle der Form
~ = E 0 ei(kz−ωt)~ex ,
E
~ = B 0 ei(kz−ωt)~ey
B
in einem homogenen, linearen Material mit der relativen Dielektrizitätskonstanten , der relativen
Permeabilität µ und verschwindender Leitfähigkeit.
a) Zeigen Sie, daß sich diese elektromagnetische Welle in dem betrachteten Material mit der
√
Geschwindigkeit cm = c/n ausbreitet. Dabei ist n = µ der Brechungsindex des Materials
und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
~ ×H
~ im Material und drücken Sie die Intensität der
b) Berechnen Sie den Poynting-Vektor E
0
Welle durch die Amplitude E des elektrischen Feldes aus. Die Intensität einer elektromagnetischen Welle ist definiert als die über eine Periode gemittelte Leistung, die durch die
Einheitsfläche transportiert wird.
Hinweis: Denken Sie daran, daß Sie in nichtlinearen Kombinationen der elektromagnetischen
Felder, wie z.B. dem Poynting-Vektor, mit den Realteilen der Felder rechnen müssen.
Aufg. 2
Die x-y-Ebene bilde die Grenze zwischen zwei isolierenden, linearen Materialien mit den Materialkonstanten 1 , µ1 im Gebiet 1 (z < 0) und 2 , µ2 im Gebiet 2 (z > 0). Eine ebene Welle der
Form
~ ein = E 0 ei(k1 z−ωt)~ex , B
~ ein = 1 E 0 ei(k1 z−ωt)~ey
E
ein
cm1 ein
treffe aus dem Gebiet 1 kommend auf diese Grenzfläche. Dabei entsteht eine reflektierte Welle
0 i(−k1 z−ωt)
~ R = ER
E
e
~ex ,
0 i(−k1 z−ωt)
~ R = − 1 ER
B
e
~ey ,
cm1
die sich in negativer z-Richtung in Gebiet 1 ausbreitet, und eine transmittierte Welle
0 i(k2 z−ωt)
~ T = ET
E
e
~ex ,
0 i(k2 z−ωt)
~ T = 1 ET
B
e
~ey ,
cm2
die sich in positiver z-Richtung in das Gebiet 2 bewegt.
~ ein + E
~ R und B
~ ein + B
~ R im Gebiet 1 mit den Feldern
Bei z = 0 sind die kombinierten Felder E
~ T und B
~ T im Gebiet 2 durch die aus den Maxwell-Gleichungen folgenden Stetigkeitsbedingungen
E
0
0
0
miteinander verknüpft. Benutzen Sie diese, um ER
und ET
durch Eein
auszudrücken. Geben Sie
den Reflexionskoeffizienten R = IR /Iein und den Transmissionskoeffizienten T = IT /Iein an. Dabei
sind Iein , IR und IT die jeweiligen Intensitäten.
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Aufg. 3
Ein Elektron befindet sich zunächst in Ruhe und fällt dann unter dem Einfluß der Schwerkraft
an der Erdoberfläche. Welcher Bruchteil der Differenz der potentiellen Energie wird im ersten
Zentimeter des Falls abgestrahlt?
Hinweis: Nehmen Sie an, daß dieser Bruchteil so klein ist, daß die Beschleunigung des Elektrons
durch die Strahlung nicht geändert wird. Ist das Ergebnis mit dieser Annahme konsistent?
Aufg. 4
Gegeben sei das elektrische Feld
~ ϑ, ϕ, t) = A sin ϑ
E(r,
r
sin(kr − ωt)
cos(kr − ωt) −
~eϕ
kr
in Kugelkoordinaten r, ϑ, ϕ mit ω = ck. Zweckmäßigerweise benutzt man in den folgenden Rechnungen die Abkürzung u = kr − ωt.
~ und zeigen Sie, daß damit für r > 0 alle
a) Bestimmen Sie das zugehörige Magnetfeld B,
Maxwell-Gleichungen im Vakuum erfüllt sind.
~ und seinen Mittelwert hSi
~ über eine Periode.
b) Berechnen Sie den Poynting-Vektor S
c) Berechnen Sie die gesamte abgestrahlte Leistung.
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