4.2 Energie und Impuls von Licht

4.2. ENERGIE UND IMPULS VON LICHT
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A
c , t
Abbildung 4.3: Schematische Darstellung der zeitlichen Entwicklung der Energiedichte einer ebenen Welle.
4.2
Energie und Impuls von Licht
Aus unserer vorherigen Betrachtung des Elektromagnetismus wissen wir, dass die Energiedichte eines elektrischen Feldes beziehungsweise eines magnetischen Feldes durch:
εo 2
|E|
2
1 2
=
|B|
2µo
UE =
(4.34)
UB
(4.35)
gegeben ist. Für eine ebene Welle in Vakuum haben wir bereits gefunden, dass das
Verhältnis der Amplituden der elektrischen und magnetischen Felder durch die Beziehung
= c|B|
ausgedrückt werden kann. Es folgt daher, dass die Energie einer elektroma|E|
gnetischen Welle gleichmäßig zwischen den Feldern aufgeteilt ist:
2 = |B|
2 /µo .
UW = UE + UB = εo |E|
(4.36)
Allerdings spielt bei der Wellenausbreitung der Energietransport die entscheidende Rolle.
Daher definieren wir eine Energiestromdichte für eine elektromagnetische Welle, die als
Energiefluß pro Zeit und pro Fläche betrachtet werden kann. In Abbildung 4.3 wird dieser
Energiefluß schematisch dargestellt. In der Zeit ∆t legt die Welle die Strecke c∆t zurück.
Die dazugehörende Energiestromdichte wird durch:
S=
UW c∆tA
= UW c [Wm−2 ]
∆tA
(4.37)
gegeben. Hierbei haben wir aus der Volumenenergie zuerst die Energie eines Zylinders der
Länge c∆t und Querschnittsfläche A berechnet, bevor wir die Energieflußdichte pro Zeit
und pro Fläche bestimmen. Da die Welle, und entsprechend die Energiestromdichte, sich
in Richtung des Wellenvektors ausbreitet, ist die Energiestromdichte als Vektorgröße zu
behandeln. Wir definieren daher den sogenannten Poynting-Vektor S:
= 1 (E
× B)
= εo c2 (E
× B),
S
µo
(4.38)
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KAPITEL 4. DIE ELEKTROMAGNETISCHE THEORIE DES LICHTS
E
F
B
v , F
M
E
Abbildung 4.4: Schematische Darstellung der Feldkonfiguration und die elektromagnetische Kräfte auf ein geladenes Teilchen.
der aufgrund des bereits gefundenen rechtshändigen Systems die korrekte Ausbreitungsrichtung besitzt. Für eine ebene Welle der Frequenz ω sind die reellen Feldstärken gegeben
durch:
=E
o cos (k · r − ωt) und B
=B
o cos (k · r − ωt).
E
(4.39)
Somit erhalten wir für den Poynting-Vektor:
= c2 εo (E
o × B
o ) cos 2 (k · r − ωt).
S
(4.40)
Für typische optische Frequenzen ist der Poynting-Vektor eine schnell oszillierende Funktion der Zeit, und wir definieren daher die Lichtintensität, die durch die zeitliche Mittelung5
des Poynting-Vektors gegeben ist:
t = εo c|E|
2 = εo c |E
o |2 .
I = |S|
2
(4.41)
In einem isotropen homogenen Medium erwarten wir aufgrund der verlangsamten Ausbreitung eine Erhöhung der Energieflußdichte um den Faktor n. Im Medium bekommen
wir daher:
2 = εn2 c/n|E|
2 = εr εo v|E|
2 .
I = εo nc|E|
(4.42)
Die elektromagnetischen Felder von Licht können nicht nur Energie übertragen, sondern
auch einen Impuls durch ihre Wechselwirkung mit den geladenen Teilchen des Mediums.
Die Wechselwirkung einer elektromagnetischen Welle mit einem Elektron wird in Abbildung 4.4 schematisch dargestellt. Die elektrische Kraft wirkt in der Ebene senkrecht zu
k und daher senkrecht zur Propagationsrichtung. Diese Kraft ist immer antiparallel zum
elektrischen Feld und mittelt sich aufgrund der Feldoszillationen zu null. Die magnetische
Kraft dagegen wirkt immer in Propogationsrichtung, weil die Elektronengeschwindigkeit
und das magnetische Feld ihre Richtungen simultan umkehren. Für die zeitliche Mittelung
der Gesamtkraft erhalten wir daher:
F = −eve × B
.
(4.43)
In diesem Text werden wir mit . . .
die zeitliche Mittelung einer Größe darstellen. Den Index t oder
gegebenenfalls einen anderen Index werden wir lediglich benutzen, wenn es der Klarheit dienlich ist.
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4.2. ENERGIE UND IMPULS VON LICHT
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Dieses Resultat läßt sich auch durch die Amplitude des elektrischen Felds einfach ausdrücken:
e
(4.44)
F = |ve ||E|
.
c
Andererseits können wir die geleistete Arbeit der Welle folgendermaßen angeben:
dW
+ eve × B)
= e|ve ||E|.
= ve · F = −ve · (eE
dt
(4.45)
Durch zeitliche Mittelung und Vergleich mit Gleichung (4.44) erhalten wir:
dW
dt
= c e |ve ||E|
= c d|p| .
= e|ve ||E|
c
dt
(4.46)
Wir erkennen, dass eine Energieabgabe ∆E im Medium zwingenderweise mit der Aufnahme eines entsprechenden Impuls p = ∆E/c in der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle verbunden ist.
(Wir werden später sehen, dass dieses klassische Resultat problemlos auch im Rahmen
der Quantentheorie hergeleitet werden kann. In diesem Zusammenhang ist allerdings der
übertragene Impuls in Einheiten von p = h̄k quantisiert, wobei h = 2πh̄ die Planck’sche
Wirkungskonstante ist. Mit der oben eingeführten Beziehung für den übertragenen Impuls
sehen wir sofort, dass auch die Energie dieses Lichtquants - eines sogenannten Photons
- quantisiert ist, und zwar in Einheiten von ∆E = h̄ω. Desweiteren erkennen wir auch
eine schöne Verbindung zur bereits diskutierten Relativitätstheorie: für die Energie eines
Teilchens in der speziellen Relativitätstheorie gilt:
E2 =
(c2 |p2 | + m2o c4 ).
(4.47)
Unter der Annahme einer Ruhemasse mo = 0 für das Photon erhalten wir automatisch
unseren gerade hergeleiteten Ausdruck für den Strahlungsimpuls.)