Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie II" (Prof. Wachutka)
SS09 Blatt 12
Aufgabe: Gedämpfte Wellen
Eine elektromagnetische ebene Welle breite sich in einem Medium mit der spezifischen
komplexen elektrischen Leitfähigkeit σ, der Dielektrizitätskonstante ε und der magnetischen Permeabilität µ aus. Die Ladungsträgerdichte sei ρ0 = 0 und die Stromdichte j~0 = ~0.
*a) Leiten Sie den Zusammenhang zwischen Wellenzahl k und Kreisfrequenz ω (Dispersionsrelation) her.
Hinweise:
~ mit der komplexen Amplitude E~ˆ0
• Verwenden Sie für das elektrische Feld E
folgenden Ansatz:
~ = E~ˆ0 ej(ωt−~k~r) .
E
• Setzen Sie diesen Ansatz in die gedämpfte Wellengleichung
!
2
~ = −∇ ρ0 − µ ∂ j~0
εµ ∂ 2 + µσ ∂ − △ E
∂t
∂t
ε
∂t
ein.
*b) In einem Elektronengas mit der Teilchendichte n betrachte man nun die Bewegung
~ = E~ˆ1 ejωt mit der
der Elektronen in dem sich zeitlich ändernden elektrischen Feld E
ˆ
komplexen Amplitude E~1 . Die Masse eines Elektrons sei m und die Ladung q = -e.
Berechnen Sie die spezifische komplexe Leitfähigkeit σ des Elektronengases.
Hinweise:
• Stellen Sie eine Bewegungsgleichung auf. Die elektrische Kraft, die auf ein Elektron wirkt, ist dabei mit der Kraft F~ = m~a gleichzusetzen. ~a ist der Beschleunigungsvektor eines Elektrons.
• Durch Integration der Bewegungsgleichung erhalten Sie den Geschwindigkeitsvektor ~v eines Elektrons und können nun mit Hilfe des ohmschen Gesetzes die
spezifische komplexe Leitfähigkeit σ berechnen.
c) Berechnen Sie die kritische Frequenz ωp für die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle im Elektronengas (k 2 (ω = ωp ) = 0) sowie die Eindringtiefe für eine
niederfrequente Welle (ω << ωp ).
d) In *b) wurde die vom Magnetfeld der elektromagnetischen Welle auf das Elektron
ausgeübte Lorentz-Kraft gegenüber der elektrischen Kraft vernachlässigt. Begründen
Sie mit Hilfe des Induktionsgesetztes, wann das erlaubt ist.