11 Eichinvarianz, Multipol-Entwicklung des Vektorpotentials 11.1

11
Eichinvarianz, Multipol-Entwicklung des Vektorpotentials
11.1
Eich-Invarianz
Im vorherigen Kapitel haben wir angenommen, dass das Vektorpotential divergenzfrei gewählt werden
kann, d.h.
∇ · A = 0.
In folgenden wird gezeigt, dass die Wahl dieser sogenannten
ist. Sie hat keinen Einfluß auf die physikalische Größe B.
Coulomb-Eichung stets möglich
Betrachte
A0 = A + ∇Ψ
mit einem beliebigen skalaren Feld Ψ und ∇ · A 6= 0.
⇒ B 0 = ∇ × A0 = ∇ × A = B.
Wähle nun Ψ so dass ∇ · A0 = 0.
⇒ 0 = ∇ · A + ∆Ψ,
d.h. Ψ muß die Poisson-Gleichung
∆Ψ = −∇ · A
lösen. Da dies keine Einschränkung der Lösbarkeit darstellt, kann man das Vektorpotential stets
divergenzfrei wählen (Eichfreiheit).
Nebenbemerkung:
Aharonov-Bohm-Effekt
solenoid
A
Interferenz von Wellenfunktionen, die einen magnetischen Fluß einschließen.
kein magnetisches Feld entlang der Elektronenbahn
Phasendifferenz zwischen der Wellenfunktion, “die entlang des oberen/unteren” Arms propagiert:
I
Z
∆ϕ = Ad` = Bdf
– unabhängig von der Eichung –
Betrachte dagegen die Phasendifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten (1) und (2)
∆ϕ
0
Z
(2)
A0 d`
(1)
Z
Z
=
Ad` + ∇Ψd`
=
= ∆ϕ + Ψ(2) − ψ(1) 6= ∆ϕ
|
{z
}
6=0
11.2
(im Allgemeinen).
Multipol-Entwicklung des Vektorpotentials
Wie bereits bei der Behandlung des entsprechenden Problems in der Elektrostatik, werden wir im
Folgenden das Vektorpotential außerhalb von Stromverteilungen betrachten.
Aus der Elektrostatik:
∞ n
1
1 X r0
=
Pn (cos γ)
|r − r 0 |
r n=0 r
(für r > r 0 ).
Z
∞
µ0 X 1
dV 0 (r0 )n Pn (cos γ) j(r 0 )
⇒ A(r) =
4π n=0 rn+1
Monopol Term:
Z
n=0:
dV 0 j(r 0 ) = 0.
Da wir nur Punkte außerhalb aller Stromverteilungen betrachten, müssen alle Stromkreise innerhalb
des Volumens V 0 geschlossen sein.
Der n = 0-Term fehlt also in der Multipol-Entwicklung des Vektorpotentials
⇒ Es gibt keine magnetischen Multipole.
Dipol-Term: n = 1
Adipole
Z
µ0 1
dV 0 r0 cos γj(r 0 )
4π r2
Z
µ0 1
dV 0 (r · r0 )j(r 0 ).
4π r3
=
=
Aus a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)
⇒ (r · r0 )j − r 0 (r · j) = −r × [r 0 × j]
Betrachte nun:
Z
(•)
dV xi xj (∇ · j) = 0
=
XZ
dV xi xj ∇k jk
k
= −
XZ
(Randterme verschwinden)
dV ∇k (xi xj )jk
k
= −
XZ
dV (δik xj + xi δjk )jk
k
= −
Integriere nun (•) :
X
k
Z
dV 0 :
ek
Z
Z
dV (xj ji + xi jj )
dV 0 (r · r 0 )jk − x0k (r · j)
=
X
=
X
ek
XZ
ek
X
l
k
k
dV 0 [xl x0l jk − x0k xl jl ]
l
xl
Z
dV 0 [x0l jk − x0k jl ]
}
|
Z {z
=2
⇒
Z
1
dV (r · r )j = − r ×
2
0
0
dV 0 xl jk
Z
dV 0 r 0 × j
⇒ Adipole =
mit dem
µ0 1
m×r
4π r3
magnetischen Dipol-Moment
m=
11.2.1
1
2
Z
dV 0 r 0 × j.
Feld eines magnetischen Dipols
Adipole
=
=
µ0
1
µ0 1
m×r =
(∇ ) × m
3
4π r
4π
r
µ0
m
∇×
4π
r
µ0
m
⇒ B(r) = ∇ × A =
∇ × (∇ × )
4π
r
m µ0
1
µ0 −
=
∇ ∇·
m∆
4π
r
4π
r
µ0 m · r
= − ∇ 3 + µ0 mδ(r)
4π
r
⇒ Das Feld eines magnetischen Dipols ähnelt dem eines elektrischen Dipols. Der zusätzliche Term
mδ(r) hat in diesem Zusammenhang keine weitere Bedeutung, da wir uns hier auf r r 0 ≥ 0 beschränkt
haben.
Beispiel:
Magnetisches Dipolmoment eines Ringstroms
j = Ieϕ δ(z)δ(r − R)
m =
1
2
Z
dV r × j(r)
=
1
2
Z
r dr dϕ dz (r I δ(z) δ(r − R)) ez
= πR2 I ez = I Fläche e⊥
11.3
Randbedingungen
1. Oberflächenströme K
∇ · B = 0 ⇒ n1 · (B 1 − B 2 ) = 0
d.h. die
Normalkomponente von B
ist an einer stromtragenden Oberfläche stetig.
∇ × B = µ0 j ⇒ n1 × (B 1 − B 2 ) = −µ0 K
d.h. die
stetig.
Tangentialkomponente
von B ist an einer stromtragenden Oberfläche un-
Beachte: Die Tangentialkomponente des Vektorpotentials A muß stetig sein, damit das magnetische Feld B t im Bereich der Oberfläche endlich bleibt.
2. Vorgegebene Felder am Rand eines endlichen Volumens:
von Neumann-Randbedingung für
∆A = −µ0 j
z.B. Permanentmagnete, Supraleiter
Beispiel:
Supraleitende Kugel im homogenen Magnetfeld
Äußere magnetische Felder induzieren in supraleitenden Materialien Randströme, deren induzierte
magnetische Felder das äußere Feld im Innern des Supraleiters kompensieren. Das Innere des
Supraleiters ist also, (ähnlich einem metallischen Leiter]) frei von magnetischen Feldern (Meissner
Effekt).
Die Randbedingungen für dieses Problem lauten also: a) n · B = 0 auf der Oberfläche der Kugel,
b) B → B 0 für r → ∞.
11.4
Vergleich von Elektro- und Magnetostatik
Elektrostatik
Magnetostatik
1
ρ
0
Quellen
∇·E =
Nebenbedingung
∇×E =0
Oberflächen
E1 − E2 =
Potentiale
E = −∇φ
”Poisson
Gleichung”
∆φ = −
“freie” Lösung
φ=
∇ × B = µ0 j
∇·B =0
σ
n
0 1
B 1 − B 2 = µ0 (K × n1 )
B =∇×A
1
ρ
0
1
4π0
Z
∆A − ∇(∇ · A) = −µ0 j
dV 0
ρ(r 0 )
|r − r 0 |
A=
µ0
4π
Z
dV 0
j(r 0 )
(Coulomb Eichung)
|r − r 0 |