Blatt 12.1: Oberflächenintegrale

Fakultät für Physik
R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2014/15
Dozent: Jan von Delft
Übungen: Benedikt Bruognolo, Katharina Stadler
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/14t0/
Blatt 12.1: Oberflächenintegrale
Ausgabe: Freitag, 09.01.2015
Abgabe: Freitag, 16.01.2015, 13:00
Beispielaufgabe 1: Flächenintegrale (*)
Betrachten Sie die Pyramide
V = {(x, y, z) ∈ (R)3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 2 − 2x − 2y}.
Berechnen Sie die Oberfläche der Schräge!
Beispielaufgabe 2: Rotationsparaboloid (**)
Betrachten Sie den Rotationskörper, der durch die Rotation der Parabel y(x) = x2 um
die y-Achse entsteht, mit y ∈ [0, ymax ]. Berechnen Sie dessen Volumen und Oberfläche in
Abhängigkeit von ymax .
Beispielaufgabe 3: Flussintegral (**)
Finden Sie den Fluss des Feldes v(r) = (yz, xz, xy)T nach außen durch die gesamte Zylinderoberfläche (Mantel, Boden und Deckel) des Zylinders um die z-Achse mit Grundkreisradius
R und −h ≤ z ≤ h.
Hausaufgabe 1: Flächenintegrale (**)
Im Folgenden soll die Oberfläche einer Kugel mittels zweier verschiedener Parametrisierungen berechnet werden. In Teilaufgabe (a) werden kartesische Koordinaten verwendet, in
Teilaufgabe (b) Kugelkoordinten.
(a) (1) Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion ist der Arkussinus arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ].
1
d
Zeigen Sie zunächst, dass die Ableitung des Arkussinus durch dx
arcsin(x) = √1−x
2
gegeben ist. Verwenden Sie die Ableitungsregel für die Umkehrfunktion und das Additionstheorem.
(2) Bestimmen Sie nun die Oberfläche der Kugel mit Radius R.
Berechnen Sie zunächst die Oberfläche der nördlichen Hemisphäre S+ (obere Halbkugel), indem Sie folgende Parametrisierung
mit kartesischen Koordinaten verwenden:
p
2
2
S+ : (x, y) 7→ r(x, y) = (x, y, R − x − y 2 )T . Achten Sie auf die richtigen Integrationsgrenzen und lösen Sie das Integral durch Substitution und Aufgabenteil (1). Die
Oberfläche der gesamten Kugel ist dann SKugel = 2S+ .
(b) Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel mit Radius R nun mit Kugelkoordinaten.
1
(c) Welchen Radius muss ein Kegel haben, damit seine Mantelfläche genauso gross wie die
Kugeloberfläche aus Teilaufgabe (b) ist? Die Höhe des Kegels soll gleich seinem Durchmesser sein.
Hausaufgabe 2: Rotationskörper (**)
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Rotation der Funktion f (x) = 1/x
mit 1 ≤ x ≤ a um die x-Achse erzeugt wird. Geben Sie auch das Integral für die Oberfläche
diese
Körpers an. Schätzen Sie dieses Integral nach unten hin ab, indem Sie die Ungleichung
√
−4
x + 1 ≥ 1 verwenden. Wie groß sind dann Volumen und Oberfläche im Limes a → ∞?
Dieser Körper ist als Gabriels Horn oder Torricellis Trompete bekannt.
Hausaufgabe 3: Flussintegral des Coulomb-Potentials durch eine Kugel (**)
Das Coulomb-Potential
einer homogenen geladenen Kugel mit Radius R hat
im 2Inneren
Q 1
r
die Form φ(r) = 4π0 2R 3 − R2 , für r ≤ R, wobei Q und 0 physikalische Konstanten sind.
Q r
Zeigen Sie, dass das entsprechende elektrische Feld E = −∇φ gegeben ist durch E(r) = 4π
3.
0 R
Berechnen Sie den Fluss dieses Feldes durch die Oberfläche einer Sphäre um den Ursprung
mit Radius R0 für R0 < R.
2