Lösungsvorschlag zu der Aufgabe 23 von Blatt 3 Die gelieferte

Lösungsvorschlag zu der Aufgabe 23 von Blatt 3
Die gelieferte Packung enthalte 100 Stück.
Lieferbedingungen: Höchstens 10% defekt
Es wird zufällige Stichprobe o.Z. von 10 Stück gezogen.
Bevor die Stichprobe gezogen und ausgewertet wird, ist
X:= Anzahl der defekten Stücke in der Stichprobe
eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable mit den Parametern
N = Anzahl der Stücke in der Lieferung = 100,
M = Anzahl der defekten Stücke in der Lieferung,
n = Anzahl der Ziehungen (o.Z.) = 10.
Damit gilt:
P (X = m) =
M
m
N −M
n−m
N
n
=
M
m
100−M
10−m
100
10
Die Packung wird zurückgewiesen, wenn mindestens ein Stück in der Stichprobe
defekt ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:
P (X > 1) = 1 − P (X = 0)
a) Für M = 10 erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Zurückweisung einer Packung:
10 90
10
0
P (X > 1) = 1 − 100
10
1 · 90 · 89 · . . . · 81 · 10!
= 0.670
10! · 100 · 99 · . . . · 91
b) M ist jetzt nicht mehr bekannt, aber wir wissen, dass M 6 10 (statt M = 10)
gilt, da die Lieferbedingungen erfüllt sind. Eine Zurückweisung bei weniger als 10
defekten Stücken in der Lieferung ist höchstens genauso wahrscheinlich wie eine
Zurückweisung bei genau 10 defekten Stücken. Da aber M 6 10 u.a. den Fall
M = 10 einschließt, müssen wir von einer Wahrscheinlichkeit von 0.670 für eine
irrtümliche Ablehnung der Lieferung ausgehen.
=1−
Die Aufgabe 23 b) ist damit gelöst. Wir wollen aber trotzdem die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Ablehnung der Lieferung direkt abschätzen.
Dazu verwenden wir die Abschätzung
n2
n1
für m ≤ n1 ≤ n2 ,
≤
m
m
5
die sich aus der Ungleichungskette
n2 · (n1 − 1) · · · (n1 − m + 1)
n1
n1 · (n1 − 1) · · · (n1 − m + 1)
≤
=
m!
m!
m
n2 · (n2 − 1) · (n1 − 2) · · · (n1 − m + 1)
≤ ...
≤
m!
n2 · (n2 − 1) · (n2 − 2) · · · · (n2 − m + 1) · (n1 − m + 1)
≤
m!
n2 · (n2 − 1) · . . . · (n2 − m + 1)
n2
≤
=
m!
m
ergibt, wobei die Positivität aller Faktoren in den Zählern zu beachten ist. Da
nun 100 − M ≥ 100 − 10 ≥ 10 ist erhalten wir daraus:
M
100 − M 100 − M 1·
0
10
10
P (X > 1)|M ≤10 = 1 −
= 1−
100
100
10
10
M ≤10
M ≤10
100 − M 1·
a)
10
≤ 1−
= P (X > 1)|M =10 = 0.670.
100
10
M =10
6