Blatt 9 - Institut für Stochastik und Anwendungen

Blatt 9
Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2007/08
Aufgabe 48 (Präsenzaufgabe). Sei (Ω, A, P ) der durch Ω = [0, 1], A = B ∩ [0, 1] und
P = λ|[0,1] gegebene Wahrscheinlichkeitsraum. Die Zufallsvariable X sei durch X(ω) = ω
definiert. Bestimmen Sie die bedingte Erwartung E(X|G) von X bei gegebener σ-Algebra G,
falls
• G = {[0, 12 ], ( 12 , 1], [0, 1], ∅}
• G durch die Mengenfamilie {B ⊂ [0, 12 ] | B ∈ B} erzeugt wird
Aufgabe 49 Auf dem W-Raum (Ω, A, P ) definierte reelle Zufallsvariablen werden als äquivalent aufgefaßt, wenn sie P-f.s. übereinstimmen. Es sei L2 (Ω, A, P ) der Hilbertraum der
Äquivalenzklassen quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen auf (Ω, A, P ) und C eine Teil-σ-Algebra von A.
a) Für eine quadratisch integrierbare reelle Zufallsvariable X auf (Ω, A, P ) beweise man die
Schwarzsche Ungleichung
(E(X | C))2 ≤ E(X 2 | C)
f.s.
b) Es sei M der lineare Teilraum von L2 (Ω, A, P ), dessen Elemente als Repräsentanten CB-meßbare Zufallsvariablen haben. Man zeige, daß M abgeschlossen ist.
b ∈ L2 (Ω, A, P ) mit Repräsentanten X und Y := E(X | C) mit zugehöriger Äquic) Sei X
b auf M ist und das
valenzklasse Yb . Man zeige, daß Yb die orthogonale Projektion von X
2
b
Proximum (bestapproximierendes Element im Sinne der L (Ω, A, P )-Norm) in M zu X
darstellt.
Aufgabe 50. Als eine Verallgemeinerung der Schwarzschen-Ungleichung für bedingte Erwartungen (siehe vorige Aufgabe) beweise man die Jensensche Ungleichung für bedingte Erwartungen.
Aufgabe 51 Die Zufallsvariablen X und Y haben die Dichten f bzw. g mit
0
falls t ≤ 0
f (t) =
2e−2t falls t > 0
und
g(t) =
0
e−t
falls t ≤ 0
falls t > 0.
Ferner seien X und Y unabhängig. Geben Sie eine gemeinsame Dichte von X und Y an und
berechnen Sie damit eine Dichte der Zufallsvariablen Z = X/Y .
Aufgabe 52 (Schriftliche Aufgabe). Ein Stab der Länge 1 wird rein zufällig in zwei Stücke
zerbrochen. Dann wird das längere der beiden Stücke (bzw. ein beliebiges der beiden Stücke,
falls beide gleich lang sind) rein zufällig zerbrochen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
jedes der beiden letzten Stücke länger als das erste ist?
Aufgabe 53 (Programmieraufgabe). Ermitteln Sie die in Aufgabe 52 gesuchte Wahrscheinlichkeit approximativ mittels Simulation.
Vorlesung und Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Übungen: N. Röhrl, Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung, Universität Stuttgart, 0711-685-65311, e-mail [email protected]
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