Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik

Dr. S. Klein
Dipl.-Math. M. Eberts
Dipl.-Math. T. Pfrommer
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 11
Wahrscheinlichkeitstheorie
16./17. Januar 2012
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Abgabe der schriftlichen Aufgaben: bis Mittwoch, 18. Januar 2012, um 17:00 Uhr
Seitenlimit: zwei Seiten
Zulässig sind nur Abgaben im PDF-Format!
Bitte versehen Sie jede Ihrer Abgaben mit Ihrem Namen, Ihrer Übungsgruppennummer
und Seitenzahlen!
• Bei R-Aufgaben ist immer ausführlich kommentierter Quellcode mitanzugeben!
Aufgabe 59. (Votieraufgabe) (1 Punkt) Es seien X eine auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte
Zufallsvariable und r > 0. Bestimmen Sie die Dichte von
1
Y := − log X
r
(log 0 := −∞)
und den Erwartungswert EY .
Aufgabe 60. (Votieraufgabe) (1 Punkt) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen, dabei ist X auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable (kurz: X ∼ U[a, b]) und Y eine
normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern µ und σ 2 (Y ∼ N(µ, σ 2 )). Berechnen Sie
E (f (X + Y )) für die Funktion f (x) = x2 .
Aufgabe 61. (Votieraufgabe) (2 Punkte) Die Verteilung einer Zufallsvariablen X sei gegeben
durch
√
c
1
6
P (X = k) = 2 mit c = P∞ −2 = 2 .
k
π
k=1 k
Was können Sie über den Erwartungswert und die Varianz von X sagen?
Aufgabe 62. (Votieraufgabe) (1+1+1 Punkte)
Es sei X eine integrierbare, reelle Zufallsvariable, und PX ihre Verteilung. Berechnen Sie für die
folgenden Verteilungen den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X).
a) X ist auf dem Intervall [a, b] gleichverteilt (d.h. es gilt PX = U([a, b]) ).
b) X ist auf R exponentialverteilt (d.h. es gilt PX = Exp(λ) mit einem λ > 0 ).
c) X ist auf R normalverteilt (d.h. es gilt PX = N(µ, σ 2 ) mit µ, σ ∈ R , σ 2 > 0 ).
1
Aufgabe 63. (Votieraufgabe) (2+1 Punkte)
a) Eine Marktanalyse für ein neue Wochenzeitung ergibt, daß die wöchentliche Nachfrage durch
eine normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern µ = 1000 und σ = 100 modelliert
werden kann. Pro verkaufte Zeitung wird ein Gewinn von 0,20 Euro erzielt und pro nichtverkaufter ein Verlust von 0,40 Euro. Wieviele Zeitungen muß der Verlag pro Woche drucken,
um den Erwartungswert des Nettogewinns zu maximieren?
b) Die Lebensdauer X eines Bauteils einer Zeitungsdruckmaschine sei normalverteilt mit einem
Erwartungswert von 2000 Betriebsstunden und einer Standardabweichung von 50 Betriebsstunden. Die Bauteile, welche nach weniger als s Stunden kaputt gehen gelten als Ausschuß.
Berechnen Sie s, wenn der durchschnittliche Ausschuß bei 5% liegt.
Hinweis: Um die Anzahl der verkauften Zeitungen bzw. des Ausschußes zu erhalten können Sie in
R die Funktion qnorm verwenden. Quantiltabellen finden Sie auch in einschlägiger Fachliteratur.
Aufgabe 64. (schriftlich) (2 Punkte)
Sei (Ω, A, µ) ein endlicher Maßraum und 0 < p < q < ∞ , so gilt Lq (µ) ⊂ Lp (µ) und für jedes
f ∈ Lq (µ) ist
kf kp ≤ (µ(Ω))
q−p
pq
· kf kq .
Insbesondere gilt im Fall, dass µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist: kf kp ≤ kf kq .
Aufgabe 65. (schriftlich) (8 Punkte)
a) Ein Stab der Länge 1 wird rein zufällig in zwei Stücke zerbrochen. Dann wird das längere
der beiden Stücke (bzw. ein beliebiges der beiden Stücke, falls beide gleich lang sind) rein
zufällig zerbrochen. Präzisieren Sie in dieser Aufgabe rein zufällig und berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, daß jedes der beiden letzten Stücke länger als das Erste ist?
b) Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit mittels Simulation approximativ in R und vergleichen
Sie das Ergebnis mit a).
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